Unterraum |
02.12.2011, 12:10 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unterraum ich hätte da eine kleine Frage zum Thema Unterräume: Und zwar, was muss eine Teilmenge eines Vektorraums, die Unterraum ist erfüllen, damit sie gleich der Vektorraum ist? Vielen Dank |
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02.12.2011, 12:29 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Unterraum
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02.12.2011, 12:47 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, und wie Zeige ich das am besten?! |
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02.12.2011, 14:12 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du Fragen zu einer konkreten Aufgabe hast dann poste diese doch bitte. |
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02.12.2011, 14:23 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay, also die Aufgabe lautet: Es sei eine Menge mit mindestens zwei Elementen von nxn-Matrizen über einem Körper K, die unter Matrixaddition abgeschlossen ist, so dass für alle und ALLE nxn-Matrzen X gilt, dass und . Zeige: Ich habe mir überlegt, dass ich mit der Eigenschaft von J: das irgendwie auf bringe und somit zeige, dass alle nxn-Matrizen in J sind. Aber das habe ich bis jetzt einfach nicht geschafft, oder funktionert das nicht so? |
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02.12.2011, 14:27 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Ansatz ist der, dass du ein beliebiges nimmst, und daraus dann folgerst. |
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02.12.2011, 14:33 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
brauche ich dazu die Eigenschaft der Abgeschlossenheit unter der Matrixaddition? |
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02.12.2011, 14:36 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Math1986: Eher anders herum, denn sonst hast Du ja nur die Teilmenge gezeigt. |
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02.12.2011, 14:38 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also so wie ich sagte?! |
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02.12.2011, 14:39 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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02.12.2011, 14:58 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach, verdammt, ich komm einfach nicht drauf. bin ich schon auf dem richtigen weg? Also ich probiere halt auf diese art und weise rum: also so probiere ich rum, aber komme einfach nicht darauf, wie ich zu etwas komme, woraus ich komme |
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02.12.2011, 20:30 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
? |
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02.12.2011, 21:50 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da Math nicht online ist: Ich würde zeigen, dass J ein Untervektorraum ist und dass die Elementarmatrizen (Also solche, die nur eine eins und sonst nur Nullen enthalten) in J liegen. |
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04.12.2011, 23:56 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, also zum beweis, dass es ein Unterraum ist bin ich folgendermaßen Vorgegangen: Abgeschlossenheit bzgl. Addition ist ja schon vorausgesetzt. also muss ich noch zeigen, dass die Nullmatrix enthalten ist, und die Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation: Nullmatrix: Sei die Nullmatrix, somit folgt: Somit gilt: Abgeschlossenheit: Da unter Matrixaddition abgeschlossen ist, folgt: etc. |
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05.12.2011, 00:05 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber wie ich das mit den elementarmatrizen nachweisen soll, weiß ich leider nicht |
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05.12.2011, 00:14 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, bei der abgeschlossenheit bin ich glaub auf eine bessere Lösung gekommen: Sei , somit: Somit ist J Untervektorraum. Stimmt das so? |
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05.12.2011, 00:25 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So muss man es machen, denn über die Addition bekommst Du ja nur die Gültigkeit für natürliche Vielfache heraus. Bzgl. der Elementarmatrizen: Wenn die Matrix ist, die in der i.Zeile und k.Spalte eine 1 hat und sonst nur Nullen, was gilt dann für und ? Wie sehen diese Produkte aus? |
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05.12.2011, 00:32 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
für wäre alles 0, bis auf die k-te Spalte und für wäre alles null, bis auf Zeile i. Also k-te Spalte und i-te Zeile behalten ihre Werte von A |
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05.12.2011, 00:34 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und was weisst Du noch über diese Produkte? |
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05.12.2011, 00:35 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dass diese wieder in J sind? |
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05.12.2011, 00:37 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig Wie sieht es dann mit aus ? |
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05.12.2011, 00:43 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das wäre die Matrix, die nur Nullen enthält, außer für und somit kann man mit alle Elementarmatrizen bilden, die wieder in J sind? Stimmt das? Aber was ist, wenn gilt? |
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05.12.2011, 00:45 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist noch das letzte Problem: Wieso muss es in J eine Matrix geben, die voll besetzt ist, also keine einzige Null enthält ? |
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05.12.2011, 00:48 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmmm... hat es was mit der Definition eines Unterraums zu tun? Also wir haben ja auf jeden Fall gegeben, dass es mindestens 2 Elemente in J geben muss und eines davon ist ja die Nullmatrix |
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05.12.2011, 00:54 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wahrscheinlich eher mit den Kriterien und , oder? |
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05.12.2011, 01:17 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Da J mehr als ein Element enthält, gibt es eine Matrix, die mindestens einen Eintrag ungleich Null hat. Falls ihr schon besprochen habt, dass sich elementare Zeilen- und Spaltenumformungen als Multiplikation mit geeigneten Matrizen darstellen lässt, ist damit klar, dass man diesen Eintrag in jede beliebige Zeile und/oder Spalte transformieren kann. |
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05.12.2011, 01:27 | DudiPupan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst du, durch multiplizieren mit einer Elementarmatrix vom Typ 3, also Zeilen und Spalten-Vertauschung und dann anschließend durch Addition...? |
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05.12.2011, 15:08 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab grad wenig Zeit, daher verweise ich kurz auf wikipedia, Stichwort Elementarmatrizen. Da steht welche Multiplikation welche Umformung ergibt. Um nun unseren Eintrag ungleich Null in eins der Nullfelder zu bekommen, müssen wir einfach Spalten und/oder Zeilen geeignet tauschen. Da das alles durch Multiplikationen darstellbar ist, sind die Ergebnisse alle in J. Somit finden wir schlimmstenfalls n² Matrizen mit und können diese mittels der vorher angegebenen Multiplikation auf die Gestalt bringen. |
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