Stone Topologie-Metrik

02.12.2011, 12:27	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Stone Topologie-Metrik Hallo noch einmal, wie bereits gesagt bin ich voll der Nerd, was Topologien betrifft. Ich habe nun ein relativ kleines Problem: Ich habe den Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2^n \end{eqnarray}$ und betrachte darauf die von der Hamming Norm induzierte Metrik. Desweiteren habe ich die Stone Topologie auf diesem Ring, also die Topologie, die als Basis der offenen Mengen die Mengen der Form $\begin{eqnarray} s(a)=\left\{I \in P:a \notin I\right\} \end{eqnarray}$ , wobei P die Menge aller Primideale in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2^n \end{eqnarray}$ ist. Ich möchte nun zeigen, ob oder ob nicht diese Topologien homöomorph zueinander sind. Ich habe die wage Vermutung, dass sie es nicht sind. In der Stone-Topologie habe ich eine Bais gegeben durch die einpunktigen Mengen, also die Mengen der Form $\begin{eqnarray} \left\{P_i\right\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ ein Primideal ist, in der Metrik ist eine Basis gegeben ebenfalls durch die einpunktigen Mengen, nur habe ich hier die Mengen, die jeweils einen Vektor enthalten. Genauer: Im Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2^n \end{eqnarray}$ existieren n Primideale, ich habe also eine (minimale) Basis aus n Elementen, in der Metrik habe ich $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Punkte, also $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Basismengen (auch im minimalfall). Nun existiert keine surjektive Abbildung von einer n-Elementigen Menge auf eine $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Elementige Menge. Habe ich irgendwo einen Denkfehler? Ich habe zwischenzeitig auch an den Satz von Tychonoff für Potenzen des zweipunktigen Raumes gedacht, aber der sagt ja nur etwas über Kompaktheit aus und nicht über Mächtigkeit.
02.12.2011, 13:59	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stone Topologie-Metrik So wie du es aufgeschrieben hast, sieht es eher so aus als wolltest du zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2^n \end{eqnarray}$ mit der Hamming-Topologie(?) und das Spektrum von $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2^n \end{eqnarray}$ mit der Stone-Topologie homöomorph sind. Zumindest schließe ich das aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray} s(a) \subseteq \operatorname{Spec} (\mathbb Z_2^n) \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} \operatorname{Spec} (\mathbb Z_2^n) \end{eqnarray}$ tatsächlich n Elemente hat, dann würde ich sagen, dass die beiden Räume nicht homöomorph sind, da ihre Träger nicht gleichmächtig sind.
02.12.2011, 14:32	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stone Topologie-Metrik Der Spektralraum hat $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Elemente, aber halt eine Basis aus n Elementen. Jetzt sehe ich gerade, dass die Hamming distanz ebenfalls die diskrete Topologie induziert, also muss ich irgendwo einen Denkfehler haben. Ich betrachte einmal den $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2^3 \end{eqnarray}$ als Beispiel, die Primideale sind $\begin{eqnarray} P_1=\left\{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_2=\left\{(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,0,1)\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_3=\left\{(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)\right\} \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} X=\left\{P_1,P_2,P_3\right\} \end{eqnarray}$ , dann ist die Stone Topologie gegeben durch $\begin{eqnarray} (X,P(X)) \end{eqnarray}$ , eine minimale Basis also durch die einpunktigen Mengen. Nun betrachte ich die Metrik, die durch die Hamming Norm induziert wird und die darauf induzierte Topologie auf dem gleichen Ring. Nun bilden die einpunktigen Mengen eine Umgebungsbasis jedes Punktes, also erhalte ich eine minimale Basis durch die einpunktigen Mengen: $\begin{eqnarray} B=\left\{ \left\{(0,0,0)\right\}, \left\{ (1,0,0 )\right\}, \left\{ (0,1,0) \right\} ,\left\{(0,0,1) \right\},\left\{ (1,1,0) \right\},\left\{ (1,0,1) \right\},\left\{ (0,1,1) \right\}, \left\{(1,1,1)\right\}\right\} \end{eqnarray}$ . Oder sehe ich das völlig falsch?
02.12.2011, 14:53	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nur um Missverständnissen entgegenzuwirken: Unter dem Spektrum eines Rings verstehe ich die Menge aller Primideale. Wenn $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2^3 \end{eqnarray}$ drei Primideale hat, dann kann $\begin{eqnarray} \operatorname{Spec} (\mathbb Z_2^3) \end{eqnarray}$ unabhängig von der Topologie nicht homöomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2^3 \end{eqnarray}$ sein, da es keine Bijektion zwischen einer drei- und einer achtelementigen Menge gibt. Auch wenn ich deine Überlegungen zu den Topologien für fehlerfrei halte, verstehe ich nicht warum du sie anstellst.
02.12.2011, 15:10	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir erst mal schön, wie gesagt, Topologie ist ein wenig meine Achillisverse und ich bin mir da immer sehr unsicher. Die Überlegungen sind ein weinig Spielerei, um mit Topologien warm zu werden, und ich bin durch ein Problem in der Algebra darauf gestoßen (bzw. Verbandstheorie). Hab vielen Dank noch mal.

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