Cauchy folge

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02.12.2011, 13:14	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy folge hey .. ich hätt mal ne frage zu ner hausaufgabe man soll zeigen dass folgendes gilt ... Beweisen Sie, dass eine folge (an) mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N : \| a_{n+1}- a_{n} \| < 2^{-n} \end{eqnarray}$ eine cauchy-folge ist.... die definition einer cauchy folge lautet nun wie folgt : $\begin{eqnarray} \forall \alpha >0 \exists n_{0} \in \mathbb N \forall n,m \geq 0: \| a_{n} - a_{m} \| < \alpha \end{eqnarray}$ sry dass ich alpha genommen hab.. sollt eigentlich epsilon heißen ^^ hab ich aber leider net gefunde ... wollt fragen obs da überhaupt groß was zu beweisen gibt... kann man nicht einfach epsilon = 2^n-1 wählen un dann hat man doch die bedingung für ne cauchy folge erfüllt... man darf ja epsilon so klein wählen wie man will hauptsache größer 0 .. und 2^n-1 geht ja gegen 0 ..
02.12.2011, 13:26	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy folge Betrachte $\begin{eqnarray} \|a_m-a_n\|=\|(a_m-a_{m+1})+(a_{m+1}-a_{m+2})+...+(a_{n-1}+a_n)\| \end{eqnarray}$ mit n>m. Darauf kann man die Dreicksungleichung loslassen und die Vorraussetzung anwenden.
02.12.2011, 13:39	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy folge ich versteh nicht genau, warum hier überhaupt was zu tun ist... weil mir kommts so vor als wäre die aufgabenstellung dass selbe wie die definition ... blos dass da halt net epsilon steht sondenr 2^(-n) .. un das wird ja auch beliebig klein für große n
02.12.2011, 14:44	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy folge Du sollst zeigen, dass eine beliebige Folge mit der gegebenen Eigenschaft eine Cauchy-Folge ist. in deiner Definition einer C-Folge ist übrigens ein Fehler, es muss lauten: $\begin{eqnarray} ... \forall m,n >n_0... \end{eqnarray}$ , nicht >0. Wenn du nun $\begin{eqnarray} \epsilon=2^{-n} \end{eqnarray}$ wählst und m>n>n_0 folgendermaßen: $\begin{eqnarray} m=n+2 \end{eqnarray}$ , dann erhälst du $\begin{eqnarray} \|a_{n+2}-a_{n}\|=\|a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_{n}\|<\|a_{n+2}-a_{n+1}\|+\|a_{n+1}-a_{n}\|=2^{-n-1}+2^{-n}=2^{-n} \cdot (2^{-1}+1)=\frac{3}{2} \cdot 2^{-n} >2^{-n}= \epsilon \end{eqnarray}$ Epsilon ist also nicht wirklich gut gewählt.
02.12.2011, 16:33	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok dankeschön un des oben war en tippfehler weiß dass es n0 heißen muss dann mach ich mich mal dran
03.12.2011, 19:30	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
ich ahb jetzt doch nochmal ne frage du hast geschrieben $\begin{eqnarray} \|a_{n+2}- a_{n+1} \| = 2^{-n-1} \end{eqnarray}$ warum aber das hoch -n-1 .... müsste es nicht auch einfach hoch -n heißen ... ich mein es is die differenz von 2 aufeinanderfolgenden gliedern der folge .. und die isnd laut aufgabenstellung < 2^-n .... un dann is es doch egal ob ich jetzt $\begin{eqnarray} \|a_{n+2}- a_{n+1} \| \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \|a_{n+1}- a_{n} \| \end{eqnarray}$ schreib.. die sin beide < 2^-n weils in beiden fällen die differenz von 2 aufeinanderfolgenden gliedenr der folge is oder etwa nicht ?1
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03.12.2011, 20:16	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Aufgabenstellung steht, dass $\begin{eqnarray} \|a_{n+1}-a_n\| < 2^{-n} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \|a_2-a_1\|<2^{-1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \|a_3-a_2\|<2^{-2} \end{eqnarray}$ usw.... Wie würdest du denn ansonsten dein n wählen?
03.12.2011, 23:47	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
da hat ich wohl eben en kleinen denkfehler hast recht ^^ sorry nichts desto trotz steh ich etwas auf em schlauch .. gehts einfach nur darum en geeignetes epsilon zu finden damit das mit der dreiecksungleichung was gescheites ausspuckt ?!
04.12.2011, 00:34	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann doch recht einfach abschätzen: $\begin{eqnarray} \|a_m-a_n\|=\|(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})+.....+(a_{n-1}-a_n)\| \end{eqnarray}$ -darauf die Dreicksungleichung loslassen und ausnutzen, dass $\begin{eqnarray} \|a_n-a_{n+1}\|<2^{-n} \end{eqnarray}$ ist. Dann erhälst du eine Reihe, die man leicht abschätzen kann.
04.12.2011, 10:48	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab s jetzt so verstanden das du eine teleskop summe bildest . die sich auf am-an zusammenzieht wenn man sie wieder auflöst ... wenn ich jetzt anstatt ... von am un an den ersten un den letzten summanden hinschreib .. sieht dass dann so aus ? $\begin{eqnarray} \| a_{m} -a_{n} \| = \| (a_{m}- a_{m-1}) +...+ (a_{1} -a_{0} )+ (a_{0}- a_{1} ) +...+( a_{n-1}- a_{n}) \| \end{eqnarray}$ also des is hoffentlich das selbe wie deins.. blos halt mit dem jeweils ersten und letzten summanden .. dann dreicksungleichung
04.12.2011, 11:34	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_0,a_1 \end{eqnarray}$ tauchen doch gar nicht zwangsläufig auf, wir haben doch $\begin{eqnarray} n,m \end{eqnarray}$ derart gewählt, so dass $\begin{eqnarray} m>n>n_0 \end{eqnarray}$ für ein festes $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ . Wenn also $\begin{eqnarray} n_0>0 \end{eqnarray}$ ist, dann haben $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ usw. nichts in der Summe verloren.
04.12.2011, 11:37	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
aber da wo du "..." gesetzt hast.... des ganze muss doch irgendwo aufhörn .. bzw anfangen
04.12.2011, 11:38	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es beginnt bei $\begin{eqnarray} a_m \end{eqnarray}$ und endet bei $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m>n>n_0 \end{eqnarray}$ .
04.12.2011, 18:10	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab jetzt folgendes ... $\begin{eqnarray} \| a_{m}- a_{m-1} \| + \| a_{m-1}- a_{m-2} \| + ... + \| a_{n+1}- a_{n} \| \leq \| a_{m} -a_{m-1} \| + \| a_{m-1}- a_{m-2} \| +...+ \| a_{n+1} -a_{n} \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq 2^{-m+1}+ 2^{-m+2}+...+ 2^{-n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq 2^{-n}+ 2^{-n}+...+ 2^{-n} \end{eqnarray}$ is dass soweit richtig ?!
04.12.2011, 22:32	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch es mal so: $\begin{eqnarray} \| a_{m}- a_{m-1} \| + \| a_{m-1}- a_{m-2} \| + ... + \| a_{n+1}- a_{n} \| \leq \| a_{m} -a_{m-1} \| + \| a_{m-1}- a_{m-2} \| +...+ \| a_{n+1} -a_{n} \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq 2^{-m+1}+ 2^{-m+2}+...+ 2^{-n} =\sum\limits_{k=n}^{m-1}2^{-k} \end{eqnarray}$ Nun kann man eine Indexversschiebung vornehmen, so dass die Summation bei k=0 beginnt.
05.12.2011, 00:06	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{m-1-n} 2^{-k-n} \end{eqnarray}$ oh man des sieht nicht iwrklcih richtig aus -_-
05.12.2011, 07:12	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles okay: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{m-1-n} 2^{-k-n} =2^{-n} \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-n-1}2^{-k} \end{eqnarray}$ . Nun noch abschätzen und du bist fertig.
05.12.2011, 13:09	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2^{-n} \sum\limits_{k=0}^{m-n-1}2^{-k} \leq 2^{-n} * \sum\limits_{k=0}^{\infty } 2^{-k} =2^{-n} * 2 = 2^{-n+1} \end{eqnarray*}$ und dann mach ich den limes un sag dass dass für n gegen unendlich des gegen 0 geht un des is ja kleiner als jedes epsilon größer 0 ... is es damit gezeigt ?!
05.12.2011, 19:27	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Shaut gut aus
05.12.2011, 19:34	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
oh vielen dank für die hilfe stand bisl auf em schlauch lg flo

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