feststellen ob Unterraum eines Vektorraums?
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02.12.2011, 13:54 Fred12 Auf diesen Beitrag antworten »
feststellen ob Unterraum eines Vektorraums?
Meine Frage:

guten Tag,

1.also wenn ich das verstanden habe gilt für den Unterraum von V die gleichen Rechenregeln im Anschluss wie für den Vektorraum V ?
bzw das heißt, dass ich mit den Basisvektoren die den Unterraum bilden, alle Vektoren in diesem Raum durch die Basisvektoren bilden kann
und in dem Unterraum müssen die gleichen Rechengesetze ( + , - , * ) gelten wie im Vektorraum V ? und das nennt man quasi Vererbung?



2. Welche Dimension hat der Raum des R^4 , der von den Vektoren x(1, 0, 2, 1) ; y(0, 1, -2, 0) ; z(-1, -1, 0, 1) erzeugt wird?

also x und y sind linear abhängig, und z lässt sich aus diesen beiden Vektoren bilden, woher erkenne ich die Dimension?
es lassen sich alle Vektoren aus x und y bilden ,allerdings nur für 2 Koordinaten (x1,y2) also ist der Raum R^2 ???

3. bei dem obigen Beispiel ist der Raum doch R^4 , da alle Koordinaten im R^4 vertreten sind, aber da man aus den Vektoren x,y,z keine 3. oder 4.
Koordinaten bilden kann ist der Raum also nicht R^3 bzw R^4 wenn ich das richtig verstanden habe? (bzw dann gelten auch nicht die Rechengesetze (+,i,*)
für die ich alle Vektoren im RAum R^3 oder R^4 bilden kann?)

4.Untersuchen Sie, ob folgende Mengen Unterräume des R^3 sind:

a) {V(x,y,z) | x*y = 0}

wie finde ich raus obs ein unterraum ist? muss ich einfach nur stur I.) phi(x)+phi(y) = phi(x+y) und II.) alpha * phi(x) = phi(alpha*x) anwenden und schauen obs stimmt?

also zB a(1,0,2) und b(0,1,2) wäre x*y = 0 aber x+y wäre der Vektor ( 1,1,2) also wäre x und y nicht mehr 0?
bei dem Beispiel dachte ich aber dass man nur für x*y zeigen muss dass es nicht gilt? und nicht für x+y?
und warum ist x *y dann nicht mehr null? weil keiner der beiden Koordinaten x,y noch null ist?


zu guter letzt hab ich noch eine Frage, was ist mit "Leerer Raum" gemeint ? also zB wenn man sagt "U darf nicht leer sein damit es ein Unterraum von V ist? ist das das gleiche wie der Nullvektor?
und was ist mit dem Nullvektor? der ist wiederum Teil vom Vektorraum bzw Untervektorraum? so ganz hab ich das noch nicht verstanden...

Meine Ideen:
ich muss immer stur rechnen ob
I. phi(x) + phi(y) = phi(x+y)
II.phi(x) * alpha = (alpha*phi(x)) ? also schauen ob das gilt für den Unterraum , sozusagen meine Bedingung?

ausserdem damits ein Unterraum ist brauch ich eine Basis aus denen ich alle anderen Vektoren in diesem Unterraum bilden kann und in dem Unterraum gelten die gleichen Rechengesetze( +,-,*) ?
02.12.2011, 14:01 Fred12 Auf diesen Beitrag antworten »
Re
ausserdem müsste der 4-dimensionale Raum R^4 nicht selbst ein Unterraum von sich selbst sein? also die dimension 4 haben? da ja alle Koordinaten für den R4 vertreten sind und die Pfeile sozusagen sich im R^4 ausbreiten müsste der Raum bzw Unterraum doch auch 4-dimensional sein oder?
02.12.2011, 14:23 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: feststellen ob Unterraum eines Vektorraums?
Zitat:
Original von Fred12
Meine Frage:

1.also wenn ich das verstanden habe gilt für den Unterraum von V die gleichen Rechenregeln im Anschluss wie für den Vektorraum V ?
bzw das heißt, dass ich mit den Basisvektoren die den Unterraum bilden, alle Vektoren in diesem Raum durch die Basisvektoren bilden kann
und in dem Unterraum müssen die gleichen Rechengesetze ( + , - , * ) gelten wie im Vektorraum V ? und das nennt man quasi Vererbung?
Ja, ein UVR hat dieselben Verknüpfungen wie der VR selbst, insbesondere ist jeder UVR selbst ein VR.


Zitat:
Original von Fred12
2. Welche Dimension hat der Raum des R^4 , der von den Vektoren x(1, 0, 2, 1) ; y(0, 1, -2, 0) ; z(-1, -1, 0, 1) erzeugt wird?

also x und y sind linear abhängig, und z lässt sich aus diesen beiden Vektoren bilden, woher erkenne ich die Dimension?
es lassen sich alle Vektoren aus x und y bilden ,allerdings nur für 2 Koordinaten (x1,y2) also ist der Raum R^2 ???
Also x, y und z sind unabhängig, oder wie willst du z durch x und y darstellen?
Alle drei Vektoren bilden somit eine Basis des UVR.
Zitat:
Original von Fred12
3. bei dem obigen Beispiel ist der Raum doch R^4 , da alle Koordinaten im R^4 vertreten sind, aber da man aus den Vektoren x,y,z keine 3. oder 4.
Koordinaten bilden kann ist der Raum also nicht R^3 bzw R^4 wenn ich das richtig verstanden habe? (bzw dann gelten auch nicht die Rechengesetze (+,i,*)
für die ich alle Vektoren im RAum R^3 oder R^4 bilden kann?)
Das verstehe ich nicht
Zitat:
Original von Fred12
4.Untersuchen Sie, ob folgende Mengen Unterräume des R^3 sind:

a) {V(x,y,z) | x*y = 0}

wie finde ich raus obs ein unterraum ist? muss ich einfach nur stur I.) phi(x)+phi(y) = phi(x+y) und II.) alpha * phi(x) = phi(alpha*x) anwenden und schauen obs stimmt?
Nein, das wäre die Definition einer linearen Abbildung.
Schau dir nochmal die Definition eines UVR an, und wie man das überprüft:
[Artikel] Untervektorraum

Zitat:
Original von Fred12
zu guter letzt hab ich noch eine Frage, was ist mit "Leerer Raum" gemeint ? also zB wenn man sagt "U darf nicht leer sein damit es ein Unterraum von V ist? ist das das gleiche wie der Nullvektor?
und was ist mit dem Nullvektor? der ist wiederum Teil vom Vektorraum bzw Untervektorraum? so ganz hab ich das noch nicht verstanden...
Der "leere raum" meint die leere Menge.
Der Raum, der nur aus dem Nullvektor besteht, ist für sich ein trivialer UVR eines jeden VR.
02.12.2011, 14:23 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re
Zitat:
Original von Fred12
ausserdem müsste der 4-dimensionale Raum R^4 nicht selbst ein Unterraum von sich selbst sein? also die dimension 4 haben? da ja alle Koordinaten für den R4 vertreten sind und die Pfeile sozusagen sich im R^4 ausbreiten müsste der Raum bzw Unterraum doch auch 4-dimensional sein oder?
Jeder VR ist ein UVR von sich selbst
03.12.2011, 15:12 Fred12 Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke, hab aber noch eine Frage ,

wenn ich diesen Vektor mit der folgenden Eigenschaft :
V={(x,y,z)|x*y=0}

untersuchen will ob es ein Unterraum von R^3 ist wie mach ich das? muss ich doch die 3 Axiome anwenden ob Nullvektor enthalten ist dann ob die Addition und Skalarmultiplikation gilt oder?
noch ne Frage... das x*y sind damit die einzelnen Koordinaten des Vektors gemeint oder sind damit 2 ganze Vektoren gemeint???
03.12.2011, 15:20 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fred12
ok danke, hab aber noch eine Frage ,

wenn ich diesen Vektor mit der folgenden Eigenschaft :
V={(x,y,z)|x*y=0}

untersuchen will ob es ein Unterraum von R^3 ist wie mach ich das? muss ich doch die 3 Axiome anwenden ob Nullvektor enthalten ist dann ob die Addition und Skalarmultiplikation gilt oder?
Ja.
Zitat:
Original von Fred12
noch ne Frage... das x*y sind damit die einzelnen Koordinaten des Vektors gemeint oder sind damit 2 ganze Vektoren gemeint???
Damit sind die Koordinaten des Vektors (x,y,z) gemeint.
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03.12.2011, 16:13 Fred12 Auf diesen Beitrag antworten »

ok aber für das Beispiel eben den Vektor
muss ich dann um es zu beweisen immer ZWEI beliebige Vektoren nehmen?
ich kann ja schlecht nur 1 vektor zB (2, 0, 3) nehmen und zeigen dass x*y= 0 oder? ist ja in dem Fall immer Null,
wenn ich 2 Vektoren nehme zB (2,0,3) und (0,1,4) ist x*y = 0
aber dann muss ich noch die Addition machen also ergibt der Vektor (2,1,7) und da ist x*y nicht mehr 0 ?

also ich versteh nicht genau wie das gemeint ist , ich dachte ich muss erst 2 Vektoren nehmen und bei jedem für sich zeigen dass x*y = 0 ist , das ist ja bei (2,0,3) und (0,1,4) der Fall,
nun dachte ich mann muss zeigen, dass x*y des einen Vektors + x*y des anderen Vektors
(also wenn man sie nach der Multiplikation der x,y Koordinaten addiert) = 0 ist, das wäre hier ja auch der Fall , aber das ist Falsch oder?
ich muss die Vektoren einfach nur so addieren und danach prüfen ob x*y , richtig?
03.12.2011, 18:15 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fred12
wenn ich 2 Vektoren nehme zB (2,0,3) und (0,1,4) ist x*y = 0
aber dann muss ich noch die Addition machen also ergibt der Vektor (2,1,7) und da ist x*y nicht mehr 0 ?
Ja, und damit hast du auch schon gezeigt dass V kein UVR ist.
03.12.2011, 18:35 Fred12 Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss also immer 2 Vektoren nehmen , also zeigen dass (2,0,1) x*y= 0 ist reicht nicht ?
dann 2 Vektoren addieren und dann das Skalarprodukt der Komponente x*y berechnen? ok dann hoffe ich das ich das so verstanden habe...
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