Minimalpolynom über Q[sprt(2)] bestimmen

02.12.2011, 15:46

Mirilini

Minimalpolynom über Q[sprt(2)] bestimmen

Hallo,
meine frage ist, wie kann ich das Minimalpolynom von sqrt(2)+sprt(3) über dem Körper Q[sqrt(2)] bestimmen. Also das Minimalpolynom von sqrt(2)=x^2-2. Und das Minimalpolynom von sqrt(2)+sprt(3) über Q ist x^4-10x^2+1.
Meine Frage ist, wie benutze ich den Körper Q[sqrt(2)] bei der berechnung des Minimalpolynoms?

liebe grüße
mirilini

02.12.2011, 15:57

galoisseinbruder

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Hallo,

Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} + \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ NST von $\begin{eqnarray*} f=X^4-10X^2+1 \end{eqnarray*}$ ist entweder dieses oder ein irredzubler Teiler davon das Min.Pol.
Ist also f über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} [\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ irred. ? Falls nein: was ist der geeignete irred. teiler?

02.12.2011, 16:04

Mirilini

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Hallo und danke für die schnelle Antwort,

Also für den Körper Q kann man ja die irreduzibilität von f beweisen, in dem man mit 2 reduziert und dann einstein mit p=2 anwendet.

Funktioniert das über Q[sqrt(2)] genauso, oder was muss ich da speziell beachten..bin mit dem Körper Q[sqrt(2)] noch nicht so ganz warm smile

gruss mirilini

02.12.2011, 16:19

galoisseinbruder

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Einsteinwar ein umtriebiger Geist, mit Algebra hatte er nicht soviel am Hut. Das angesprochene Kriterium ist nach dem leider sehr früh verstorbenen Eisenstein benannt.
Dieses Kriterium kannst Du hier nicht so einfachn anwenden:
Über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ zeigst Du mit Eisenstein, dass das Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist und dann mit Gauß die irreduzibilät über den ganzen Zahlen.
Um das hier anwenden zu können müsstest Du folgendes machen:
-irreduzibilität über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} [ \sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$ (dafür muss dieser Ring faktoriell sein, was er ist, und 2 ist hier nicht prim, wir bräuchten also ein anderes p)
-Gauß muss anwendbar sein (dafür brauchen wir wieder faktoriell)

Das kannst Dir aber sparen, denn f ist über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} [\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ reduzibel.

02.12.2011, 16:25

Mirilini

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Ok, aber über Q wäre f doch irreduzibel oder?

Ich glaub ich hab das mit dem Körper Q[sqrt(2)] nicht ganz verstanden. Wie sehe ich denn so leicht, dass f über Q[sqrt(2)] reduzibel ist?

02.12.2011, 16:37

tmo

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"Leicht" sieht man das überhaupt nicht. In diesem speziellen Kontext ist es aber klar, denn:

- f annulliert $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
- Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ kann aber höchstens Grad 2 haben, da dies der Grad der Körpererweiterung ist.
- Folglich ist f nicht das Minimalpolynom, sondern ein nichttriviales Vielfache dessen, also reduzibel.

02.12.2011, 16:51

Mirilini

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Ok, das kam mir auch schon beim rechnen komisch vor, dass der grad von f 4 war, das Minimalpolynom von Q[sqart2] aber den grad 2 hat.
f=-(-x^2+2 sqrt(6)+5) (x^2+2 sqrt(6)-5). Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
(-x^2+2 sqrt(6)+5) annuliert, ist (-x^2+2 sqrt(6)+5) das Minimalpolynom von
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

Wäre dann (-x^2+2 sqrt(6)+5) auch das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{3}] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{6}] \end{eqnarray*}$ ? oder hab ich das jetzt falsch verstanden?

02.12.2011, 17:05

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Mirilini
Ok, das kam mir auch schon beim rechnen komisch vor, dass der grad von f 4 war, das Minimalpolynom von Q[sqart2] aber den grad 2 hat.
f=-(-x^2+2 sqrt(6)+5) (x^2+2 sqrt(6)-5). Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
(-x^2+2 sqrt(6)+5) annuliert[/latex] .

Bis hierhin ist es richtig.
Allerdings ist $\begin{eqnarray*} (-x^2+2 \sqrt{6}+5) \notin \mathbb{Q}[\sqrt{2}][X] \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \notin \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ .
Beachte $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

02.12.2011, 17:10

Mirilini

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ok und da $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ nicht zum Körper gehört, hat $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ kein Minimalpolynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ ?

und somit auch nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{3}] \end{eqnarray*}$ aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{6}] \end{eqnarray*}$ ?

02.12.2011, 17:17

galoisseinbruder

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Natürlich hat $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ein Minimalpolynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ , da es ja im Oberkörper liegt.
Da es für Missverständnisse gesorgt hat und auch nicht hundertprozentig richtig ist, nehme ich mein

Zitat:

Bis hierhin ist es richtig.

zurück.

Zitat:

f=-(-x^2+2 sqrt(6)+5) (x^2+2 sqrt(6)-5)

Die Zerlegung ist keine über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ (sondern über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{6}] \end{eqnarray*}$ und sämtlichen Erweiterungen davon.)
Zerlege f=gh mit $\begin{eqnarray*} g,h \in \mathbb{Q} [\sqrt{2}] [X] \end{eqnarray*}$

02.12.2011, 17:30

Mirilini

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Ahh, so jetzt glaub ich hab ichs smile

also

x^2-2 x sqrt2 -1 ist das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ , da es irreduzibel ist und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ als nullstelle hat

hoffe das stimmt jetzt so
danke

02.12.2011, 17:43

galoisseinbruder

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So stimmts jetzt. Freude

06.12.2011, 17:49

8000mark

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Hallo,
ich sitze an der selben Aufgabe. Bei mir steht allerdings noch:

Zitat:

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [\alpha] = \mathbb Q [\sqrt{2}, \sqrt{3}] \end{eqnarray*}$ ist.

Wie geh ich denn da ran?
Und ich habe nicht ganz verstanden, wie ich das Minimalpolynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{6}] \end{eqnarray*}$ bekomme.

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