Dezimalbruchentwicklung von X

02.12.2011, 18:58	foxriver	Auf diesen Beitrag antworten »
Dezimalbruchentwicklung von X Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R , x \geq 0 \end{eqnarray}$ . Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ gibt mit: i) $\begin{eqnarray} a_{0}\in \mathbb N \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{n} \in \left\{1,2,...,9\right\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ii)für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} 0\leq x-\sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k} }{10^{k}} < \frac{1}{10^{n}} \end{eqnarray}$ Tipp: Wähle induktiv $\begin{eqnarray} a_{0} = \lfloor x \rfloor,a_{1} = \lfloor 10(x-a_{0})\rfloor, a_{n} = \lfloor 10^{n}(x-a_{0}-\frac{a_{1}}{10}-...\frac{a_{n-1}}{10^{n-1}}) \rfloor \end{eqnarray}$ ,... Zeige, dass x = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_{k}}{10^{k}} \end{eqnarray}$ . Man schreibt dann x = $\begin{eqnarray} a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}.... \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Dies ist die Aufgabe - und mir fehlt die Idee wie bei i) ich zeigen kann das die Folge eindeutig bestimmt ist. Wäre nett wenn ihr mir einen Denkanstoß bzw eine ähnliche ( bitte nicht die Lösung zu dieser) Herangehensweise geben könntet. Bei der ii) stehe ich leider auch auf dem Schlauch wie ich den Tipp beweisen soll, danach wäre es ja kein Problem da ich durch die beiden Summen das Cauchy Kriterium benutzen könnte und ich zeigen kann $\begin{eqnarray} 1/10^{n} < \epsilon \end{eqnarray}$ für ein n>=n0 aus N, aber dafür muss ich zeigen dass x der Summe von Oben entspricht. mfg foxriver

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