Stochastik - Überlegung richtig?

02.12.2011, 19:51

blubbibub

Stochastik - Überlegung richtig?

Meine Frage:
Hallo,

folgende Aufgabe:
An Fahrrädern werden oft Ziffernschlösser mit dreistelligen Codenummern verwendet. Die möglichen Nummern sind alle gleichwahrscheinlich.
Wie viele Ziffernschlösser muss man in einer Zufallsstichprobe auswählen, bis man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens ein Schloss mit einer Codenummer gefunden hat, die größer als 699 ist?

Meine Ideen:
Meine Idee ist es mit Hilfe von Bernoulli die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen nach 1, 2, ... Versuchen, diese dann zu addieren bis man bei mehr als 90% ist:

p = 0,3
q= 0,7

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} * 0,3^1 * 0,7^0 = 0,3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} * 0,3^1 * 0,7^1 = 0,42 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} * 0,3^1 * 0,7^2 = 0,441 \end{eqnarray*}$

Zusammen wären das ja nun 1,161 und dies ist ja größer als 0,9.
Also wäre meine Antwort auf die Frage, dass man mindestens 3 Versuche dafür benötigt.
Ist das richtig?

02.12.2011, 20:31

Math1986

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RE: Stochastik - Überlegung richtig?

Zitat:

Original von blubbibub

Meine Ideen:
Meine Idee ist es mit Hilfe von Bernoulli die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen nach 1, 2, ... Versuchen, diese dann zu addieren bis man bei mehr als 90% ist:

p = 0,3
q= 0,7

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} * 0,3^1 * 0,7^0 = 0,3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} * 0,3^1 * 0,7^1 = 0,42 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} * 0,3^1 * 0,7^2 = 0,441 \end{eqnarray*}$

Zusammen wären das ja nun 1,161 und dies ist ja größer als 0,9.
Also wäre meine Antwort auf die Frage, dass man mindestens 3 Versuche dafür benötigt.
Ist das richtig?

Die Idee geht schon in die richtige Richtung, du berechnest aber die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du genau ein solches Schloss findest, gefragt ist aber nach mindestens...

Tipp: Gegenwahrscheinlichkeit betrachten!

02.12.2011, 20:41

blubbibub

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Das Gegenereignis wäre ja dann, dass man keins findet?
Ich bin mir dabei gerade irgendwie unsicher.

Die Wahrscheinlichkeit nach dem ersten Zug keines zu finden ist 0,7. Nach dem zweiten Zug keines zu finden wäre ja dann 0,7*0,7=0,49. Zusammen wären das ja schon 1,19.
Also wäre die Antwort nach zwei Zügen?

02.12.2011, 21:01

Math1986

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Zitat:

Original von blubbibub
Das Gegenereignis wäre ja dann, dass man keins findet?
Ich bin mir dabei gerade irgendwie unsicher.

Soweit ist es richtig

Zitat:

Original von blubbibub
Die Wahrscheinlichkeit nach dem ersten Zug keines zu finden ist 0,7. Nach dem zweiten Zug keines zu finden wäre ja dann 0,7*0,7=0,49.

Das ist für sich genommen auch noch richtig, da das aber die Gegenwahrscheinlichkeit ist, musst du diesen Wert noch von Eins abziehen.
Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ziehung mindestens Eins zu finden, wäre also 1-0,7=0,3...
Die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Ziehungen mindestens Eins zu finden, wäre also 1-0,49=0,51...

Zitat:

Original von blubbibub
Zusammen wären das ja schon 1,19.

Du darfst die Werte nicht summieren, du musst schauen, wann die Wahrscheinlichkeit zum ersten Mal größer als 90% ist.

03.12.2011, 13:21

blubbibub

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Das würde ja heißen, dass das erst nach dem siebten Zug der Fall wäre:
1 - 0,7^7 = 0,91

Irgendwie erscheint mir das aber unlogisch, da man ja schon nach dem 3. Zug davon ausgehen kann, dass man ein Schloss gefunden hat.

03.12.2011, 13:37

Math1986

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Zitat:

Original von blubbibub
Das würde ja heißen, dass das erst nach dem siebten Zug der Fall wäre:
1 - 0,7^7 = 0,91

Richtig.

Zitat:

Original von blubbibub
Irgendwie erscheint mir das aber unlogisch, da man ja schon nach dem 3. Zug davon ausgehen kann, dass man ein Schloss gefunden hat.

Mit welcher Begründung?

03.12.2011, 13:46

blubbibub

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Man findet in mehr als 90% der Fällen nach dem dritten Zug ein Schloss. Innerhalb dieser 3 Zügen kann man aber auch 2 oder 3 Schlösser finden.
Man hat ja insgesamt mehr Möglichkeiten zur Auswahl, und wenn man mehr Auswahl hat, ist ein Ereignis wahrscheinlicher?

03.12.2011, 13:49

Math1986

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Zitat:

Original von blubbibub
Man findet in mehr als 90% der Fällen nach dem dritten Zug ein Schloss.

Mit welcher Begründung?

03.12.2011, 13:49

blubbibub

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Auf Grund meiner Anfangsidee.

03.12.2011, 14:03

Math1986