Tschebyschev-Ungleichung

Neue Frage »

MatheMäxchen Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyschev-Ungleichung
Meine Frage:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem Experiment eintritt, sei 0,5. Ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in 900 unabhängigen Versuchen zwischen 405 und 495 mal eintritt, größer als 0,88?

Meine Ideen:
Ich muss diese Aufgabe lösen und habe eigentlich auch das Gefühl das die nicht so schwer ist. Nur komme ich selber nicht auf die Lösung.
Ich stelle mir einfach vor, als würde ich eine faire Münze werfen und interessiere mich dafür wie oft Kopf kommt.
Der Erwartungswert von X ist dann E(X)=450, da die Münze fair ist und ich 900 mal werfe.
Die Varianz berechnet sich dann ja durch Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2.
Nun weiß ich aber schon nicht, wie man E(X^2) bestimmt. Also die Formel für den Erwartungswert (E(X)=SUMME (X(w)*P(w)) kenn ich. aber ich kann sie leider nicht auf den Fall anwenden.
(E(X))^2=450^2=202500.
Was ist aber eigentlich genau mein X?
Ist das richtig: P(|X-E(X)|>=a) = 0,88 ?
Wozu genau ist das a?

Wäre echt über jeden Tipp dankbar!
Vielen Dank schonmal für eure Mühe.

Liebe Grüße
MatheMäxchen
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschev-Ungleichung
Wenn du 900 unabh. Versuche hast, dann ist X die ZVe, die die Anzahl der Erfolge angibt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit "dass dieses Ereignis in 900 unabhängigen Versuchen zwischen 405 und 495 mal eintritt", also

Das lässt sich schreiben in der Form:

Also:

Wobei gerade ist.

Darauf kannst du jetzt die Tschebyschow-Ungleichung anwenden.
MatheMäxchen Auf diesen Beitrag antworten »

oh, da waren meine überlegungen ja völlig anders.
die tschebyschev-ungleichung heißt doch aber P(|X-E(X)|>=a)>=(Var(X)/a^2)
in der Gleichung die du hast, habe ich aber P(|X-450|<=45).
also kann 45 ja nicht mein a sein.
Welches ist eigentlich die Variable die ich suche?
Muss ich nicht auch noch die Varianz berechnen? Dafür brauche ich dann aber E(X^2) und wie man darauf kommt weiß ich leider auch nicht...

Wäre super wenn du mir nochmal helfen kannst.

Liebe Grüße
MatheMäxchen
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMäxchen
oh, da waren meine überlegungen ja völlig anders.
die tschebyschev-ungleichung heißt doch aber P(|X-E(X)|>=a)>=(Var(X)/a^2)
in der Gleichung die du hast, habe ich aber P(|X-450|<=45).
also kann 45 ja nicht mein a sein.
Dann bilde von obigem Term doch mal die Gegenwahrscheinlichkeit.
Zitat:
Original von MatheMäxchen
Welches ist eigentlich die Variable die ich suche?
Keine dieser Variablen:

Die Frage lautet;
Zitat:
Ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in 900 unabhängigen Versuchen zwischen 405 und 495 mal eintritt, größer als 0,88?
Das ist also eine Ja/nein Frage, es ist hier kein genauer Zahlenwert gefragt.

In Kurzform also:
?
Also stimmt das, ja oder nein?

Zitat:
Original von MatheMäxchen
Muss ich nicht auch noch die Varianz berechnen? Dafür brauche ich dann aber E(X^2) und wie man darauf kommt weiß ich leider auch nicht...

Überleg doch mal, wie X verteilt ist, dann kennst du auch die Varianz.
MatheMäxchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also habe ich nun P(|-X+450|>=(-45)) also ist a=-45 und a^2=2025.
Also muss ich zeigen, dass P(|-X+450|>=-45)>0,88.
wie ich auf die varianz komme ist mir vom logischen nicht ganz klar. ich habe jedes mal eine wahrscheinlichkeit von 0,5. intuitiv würde ich nun sagen, dass die varianz 900/4 also, 225 ist. stimmt das? ich kann mir das anders nicht wirklich vorstellen.

wenn ich nun die varianz habe, dann habe ich in der Ungleichung ja nur X als Unbekannte, aber wo bringe ich da die 0,88 unter?

ich würde das ganze gerne im detail verstehen, da ich ja ende des semesters eine klausur schreiben muss und dafür die aufgaben alleine lösen muss...
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMäxchen
Ok also habe ich nun P(|-X+450|>=(-45)) also ist a=-45 und a^2=2025.
Also muss ich zeigen, dass P(|-X+450|>=-45)>0,88.
Wie bitte? geschockt

Du hast hier angegeben: |-X+450|>=(-45)
Ein Betrag ist immer >=-45, also wäre P(|-X+450|>=(-45))=1.
Hast du das mal nachgerechnet, bzw hälst du das für realistisch?
Insofern wird in der Ungleichung auch gefordert, sonst wäre die Aussage links trivial.

Die richtige Gegenwahrscheinlichkeit wäre:


Zitat:
Original von MatheMäxchen
wie ich auf die varianz komme ist mir vom logischen nicht ganz klar. ich habe jedes mal eine wahrscheinlichkeit von 0,5. intuitiv würde ich nun sagen, dass die varianz 900/4 also, 225 ist. stimmt das? ich kann mir das anders nicht wirklich vorstellen.
Von der Intuition richtig, aber wie begründest du das?
Nochmal meine Frage:
Überleg doch mal, wie X verteilt ist, dann kennst du auch die Varianz.

Zitat:
Original von MatheMäxchen
wenn ich nun die varianz habe, dann habe ich in der Ungleichung ja nur X als Unbekannte, aber wo bringe ich da die 0,88 unter?
Die bringst du erstmal gar nicht unter, du wendest erstmal auf obenstehenden Term die Tschebyschow-Ungleichung ein! Nichts anderes machst du!
 
 
MatheMäxchen Auf diesen Beitrag antworten »

upps, da habe ich gerade beim begriff "Gegenwahrscheinlichkeit" nicht geschalten und habe irgendwie nur überlegt wie ich das <= zeichen umdrehen kann...
müsste bei der gegenwahrscheinlichkeit nicht 450 statt 405 stehen? sodass ich dann hätte: die gegenwahrscheinlichkeit von P(|X-450|<=45) ist 1-P(|X-450|>=46)
oder habe ich hier schon wieder einen denkfehler drin?

was meinst du mit "wie X verteilt ist"? X ist doch die Variable die die Anzahl von Kopf angibt. Wenn ich das erste mal werfe, dann geht X mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 eins hoch. Beim zweiten Versuch wieder, nur das X dann entweder schon 1 ist oder noch 0. Im Endeffekt erwarte ich, dass Kopf genauso oft vorkommt wie Zahl, da die Wahrscheinlichkeit für beides 0,5 ist. In wirklichkeit muss das aber nicht so sein. Wie man da nun eine genau verteilung angeben soll weiß ich nicht.

wenn ich das ganze nun in die gleichung packe, dann komm ich auf:
1-P(|X-450|>=46)<=225/2116 = 1-225/2116<=P(|X-405|>=46)
= 1891/2116<=P(|X-450|>=46)
1891/2116 ist ungefähr 0,89 also ist das definitiv echt größer als 0,88 also kann ich schreiben: 0,88 < 1891/2116 <= P(|X-450|>=46)
also auch: 0,88 < P(|X-450|>=46)
das wäre ja das was ich zeigen wollte, also kann man sagen das die wahrscheinlichkeit das kopf zwischen 405 und 495 mal vorkommt größer ist als 0,88.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMäxchen
upps, da habe ich gerade beim begriff "Gegenwahrscheinlichkeit" nicht geschalten und habe irgendwie nur überlegt wie ich das <= zeichen umdrehen kann...
müsste bei der gegenwahrscheinlichkeit nicht 450 statt 405 stehen? sodass ich dann hätte: die gegenwahrscheinlichkeit von P(|X-450|<=45) ist 1-P(|X-450|>=46)
oder habe ich hier schon wieder einen denkfehler drin?
Ich habe es korrigiert, mein Fehler.
Zitat:
Original von MatheMäxchen
was meinst du mit "wie X verteilt ist"? X ist doch die Variable die die Anzahl von Kopf angibt. Wenn ich das erste mal werfe, dann geht X mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 eins hoch. Beim zweiten Versuch wieder, nur das X dann entweder schon 1 ist oder noch 0. Im Endeffekt erwarte ich, dass Kopf genauso oft vorkommt wie Zahl, da die Wahrscheinlichkeit für beides 0,5 ist. In wirklichkeit muss das aber nicht so sein. Wie man da nun eine genau verteilung angeben soll weiß ich nicht.
Ja, und genau das nennt man auch Binomialverteilung.
Wie lautet deren Varianz?
Wenn die nicht bekannt ist kann auch die Formel von Bienaymée verwendet werden und sich die Varianz so herleiten.

Bevor du an dieser Ungleichung weitermachst solltest du dir die Binomialverteilung erstmal anschauen, dir fehlt es an den Grundlagen!
Zitat:
Original von MatheMäxchen
wenn ich das ganze nun in die gleichung packe, dann komm ich auf:
1-P(|X-450|>=46)<=225/2116 = 1-225/2116<=P(|X-405|>=46)
= 1891/2116<=P(|X-450|>=46)
1891/2116 ist ungefähr 0,89 also ist das definitiv echt größer als 0,88 also kann ich schreiben: 0,88 < 1891/2116 <= P(|X-450|>=46)
also auch: 0,88 < P(|X-450|>=46)
das wäre ja das was ich zeigen wollte, also kann man sagen das die wahrscheinlichkeit das kopf zwischen 405 und 495 mal vorkommt größer ist als 0,88.
Zumindest der rot markierte Teil ist falsch. geschockt
Der Rest sieht für mich auch eher nach Chaos um Umgang mit Ungleichungen aus unglücklich

Du musst es noch sauber aufschreiben:

Nach der T-Ungleichung ist

Also:

Damit wäre die Behauptung gezeigt.
MatheMäxchen Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß das es mir leider an der grundlagen fehlt. mir bringt unsere vorlesung nicht wirklich viel, weil ich nichts verstehe. ich sitze dann zu hause und möchte die übungszettel machen, aber die vorlesung und die aufzeichnungen bringen mir überhaupt nix...
binomialverteilung hatten wir lange bevor wir etwas über die varianz aufgeschrieben haben. Formel von Bienaymée habe ich noch nie gehört.
laut internet ist die varianz der binomialverteilung = np(1-p), wobei n die anzahl der wiederholung, also n=900 und p die wahrscheinlichkeit für einen erfolg, also p=0,5 und 1-p die wahrscheinlichkeit für den misserfolg, also in diesem fall wieder 0,5 ist. also hätten wir 900*0,5*0,5= 225.
das habe ich verstanden. dafür schonmal vielen dank!!!

vielleicht habe ich meine schlussfolgerungen nur ungünstig aufgeschrieben, einige der = zeichen sollten eigentlich äquivalenzpfeile darstellen.
(1-P(|X-450|>=46)<=225/2116) <=>( 1-225/2116<=P(|X-405|>=46))
<=> (1891/2116<=P(|X-450|>=46))
Wäre das so immernoch falsch?

ansonsten verstehe ich deine schlussfolgerungen gut.

kannst du mir vllt irgendein buch empfehlen in denen die wichtigsten grundlagen einfach beschrieben werden?

Ich danke dir vielmals für deine Hilfe!
ich werde mich morgen hinsetzen uns versuchen das ganze nochmal ohne hilfe zu machen, um zu sehen ob ich es wirklich verstanden habe.

liebe grüße
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMäxchen
binomialverteilung hatten wir lange bevor wir etwas über die varianz aufgeschrieben haben. Formel von Bienaymée habe ich noch nie gehört.
laut internet ist die varianz der binomialverteilung = np(1-p), wobei n die anzahl der wiederholung, also n=900 und p die wahrscheinlichkeit für einen erfolg, also p=0,5 und 1-p die wahrscheinlichkeit für den misserfolg, also in diesem fall wieder 0,5 ist. also hätten wir 900*0,5*0,5= 225.
das habe ich verstanden. dafür schonmal vielen dank!!!
Ja, zumindest in Wikipedia ist sie Binomialverteilung ausführlichst beschrieben
Zitat:
Original von MatheMäxchen
vielleicht habe ich meine schlussfolgerungen nur ungünstig aufgeschrieben, einige der = zeichen sollten eigentlich äquivalenzpfeile darstellen.
(1-P(|X-450|>=46)<=225/2116) <=>( 1-225/2116<=P(|X-405|>=46))
<=> (1891/2116<=P(|X-450|>=46))
Wäre das so immernoch falsch?
Schon der erste Schritt ist falsch, vergleiche mal mit meiner Rechnung.
Sonst beachte bitte Wie kann man Formeln schreiben? , es ist sehr verwirrend, deine Folgerungen von deinen größer/kleiner auseinanderzuhalten unglücklich

Zitat:
Original von MatheMäxchen
kannst du mir vllt irgendein buch empfehlen in denen die wichtigsten grundlagen einfach beschrieben werden?
Es gibt eines von Ulrich Krengel und eines von Norbert Henze, beide sind sehr Einsteigerfreundlich
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »