Integral einer Parabel durch Waagerechte halbieren

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03.12.2011, 10:13	Eldoria	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral einer Parabel durch Waagerechte halbieren Meine Frage: Die Aufgabe lautet die Funktion f(x)=9-x² durch eine Parallele zur X-Achse in zwei gleich große Teile zu zerlegen. Meine Ideen: Ich habe mir überlegt das man den Graphen theoreisch so entlang der Y-Achse verschieben könnte das man den passenden Flächeninhalt (18) bekommt und habe dann unterschiedliche Lösungsansätze gehabt, a) wäre einfach in die vorhandene Gleichung einen Parameter t einzusetzten, also f(x)= 9-x²-t (eben weil er verschoben werden soll) und dann zunächst das Intervall durch Nullstellen zu bestimmen und dann das Integral auszurechnen b) wäre gewesen die Parallele durch eine eigene Funktion g(x)=t zu kennzeichnen, dabei geben die Schnittpunkte mit dem Graphen das Integral an und ich ziehe g(x) von f(x) so ab das ich den Flächeninhalt 18 erhalte. Mein Problem ist einfach das ich ab einem gewissen Punkt beim Integrieren nicht weiterkomme, weil ich z.B. t x Wurzel aus t da stehen habe. Die Lösung müsste bei 3,33 liegen
03.12.2011, 11:48	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Deine Ideen sind richtig gut Schreib mal auf, was du gerechnet hast, dann können wir hier im Forum mal gucken, wo der Hacken liegen könnte. lieben Gruß
03.12.2011, 12:50	Eldoria	Auf diesen Beitrag antworten »
a) $\begin{eqnarray} 9- x^2 -t \end{eqnarray}$ 1. Nullstellen $\begin{eqnarray} 9-t-x^2=0<br /> x^2=9+t<br /> x=\sqrt{9+t}<br /> t \geq -9 \end{eqnarray}$ Also Das Integral liegt zwischen $\begin{eqnarray} -\sqrt{9+t} und \sqrt{9+t} \end{eqnarray}$ Stammfunktion $\begin{eqnarray} 9x-tx-\frac{1}{3}x^{3} \end{eqnarray}$ Einsetzen $\begin{eqnarray} (9(3-\sqrt{t})-t(3-\sqrt{t})- \frac{1}{3} (3-\sqrt{t} )^3 )-(9(3+\sqrt{t})-t(3+\sqrt{t})- \frac{1}{3} (3+\sqrt{t} )^{3}) = 18<br /> (27-9\sqrt{t}+3t+t\sqrt{t}-3+\frac{1}{3}t+\frac{1}{3}\sqrt{t}) - (27+9\sqrt{t}-3t+t\sqrt{t}-3-\frac{1}{3}t-\frac{1}{3}\sqrt{t}) = 18<br /> 27+9\sqrt{t}-3t+t\sqrt{t}-3-\frac{1}{3}t-\frac{1}{3}\sqrt{t}-27+9\sqrt{t}-3t-t\sqrt{t}+3-\frac{1}{3}t-\frac{1}{3}\sqrt{t} = 18<br /> 18\sqrt{t}-6t-\frac{2}{3}t-\frac{2}{3} \sqrt{t} =18<br /> -\frac{20}{3}t-17\frac{1}{3}\sqrt{t} = 18<br /> \end{eqnarray}$ Da weiß ich irgendwie nicht weiter. Ich fürchte aber das ich was bei der Termumforumg falsch gemacht habe, sodass es eh falsch ist. b) Ist das Gleiche Spiel, weil ich die Gleichen Schnittpunkte/Nullpunkte habe bin in a) und da ich den Flächeninhalt von F(x) ausrechnen muss bleibe ich immer an der gleichen Stelle Hängen Ich hoffe ihr findet meinen Fehler, tut mir leid das ich euch auf einen Samstag mit soetwas nerve, aber es lässt mir keine Ruhe, ich schreibe Montag meine Arbeit und falls das drannkommt möchte ich wenigstens wissen wie ich theoretisch auf den Wert käme
03.12.2011, 14:39	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Man du hast ja ne Menge gerechnet, nicht schlecht! Also ich hab es herausbekommen, das Rechnen war aber eigentlich schon gar nicht mehr zumutbar Mein Ansatz war so wie deiner: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~(9-x²-t)~dx=18\quad\text{für welches t ?} \quad \quad a=-\sqrt{9-t}\quad b=\sqrt{9-t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(b)-F(a)=18 \end{eqnarray}$ zur Vereinfachung der Rechnung habe ich folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} e=b \quad \text{und} \quad -e=a \quad \text{also ist:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e=\sqrt{9-t} \quad \quad -e=-\sqrt{9-t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(e)-F(-e)=18 \end{eqnarray}$ Dann ist meine Gleichung: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}e^3+9e-te-\left( \frac{1}{3}e^3 -9e+te \right)=18 \end{eqnarray}$ und diese Gleichung ersteinmal nach t umstellen Ich rechne gleich mal deins weiter. edit: Dein erster Fehler war, dass du $\begin{eqnarray} x_{1/2}=\pm\sqrt{9-t} \end{eqnarray}$ verändert hast, indem du die Wurzel aus den Gliedern der Summe gezogen hast! fällt dir etwas zu deiner Verteidigung ein?
03.12.2011, 15:02	Eldoria	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bei den langen Rechnungen können sind dann schnell Fehler einschleichen, ich hab jetzt $\begin{eqnarray} t= 9e-9-\frac{1}{3} e^2 \end{eqnarray}$ Nach dem Einsetzen wäre das $\begin{eqnarray} t= 9e-9-\frac{1}{3} e^2<br /> t=9(3-\sqrt{t})-9+3t<br /> t=18+9\sqrt{t}+3t<br /> 0=18+9\sqrt{t}+2t <br /> \end{eqnarray}$ Dürfte ich da einfach hoch 2 rechnen? Nein oder?
03.12.2011, 15:04	Eldoria	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie dürfte ich das denn umstellen?
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03.12.2011, 15:10	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Integrationsbrenzen musst du unbedingt so lassen. Warte, ich habe beim Umstellen meiner Gleichung von oben: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}e^2+9-\frac{9}{e}=t \end{eqnarray}$ herausbekommen.
03.12.2011, 15:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor ihr weiter rechnet, das stimmt nicht. Eine Vereinfachung ist unbedingt, dass ihr wegen der Symmetrie von 0 bis e rechnet und diese Fäche dann gleich 9 setzt. Die Gleichung dafür ist einfach. Ihr müsst auf $\begin{eqnarray} \frac 2 3 \cdot \sqrt{e^3} = 9 \end{eqnarray}$ e muss sich dann als rund 5,67 ergeben
03.12.2011, 15:23	Eldoria	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passt, aber ganz verstanden habe ich das jetzt noch nicht. Ist ja logisch, das ich statt der Hälfte auch ein Viertel nehmen kann und das dann verdopple, aber wie kommst du da auf die Gleichung?
03.12.2011, 15:28	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bin ich jetzt auch platt, keinen Schimmer wie die Formel dann trotz dem Teilen der Fläche so einfach werden kann. mYthos weiß bestimmt wie
03.12.2011, 15:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte dem Christian NICHT das Heft aus der Hand nehmen, sondern nur verhindern, dass ihr in einen Irrgarten rechnet. Er hat ja auch schon weit gerechnet. Also wird er das sicher mit dir weiter machen und dir erklären, wie diese Gleichung entsteht (das bestimmte Integral der Differenzfunktion (9 - x^2 - t) von 0 bis Wurzel aus (9-t) ist gleich 9). mY+
03.12.2011, 15:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Ich sag's aber gerne, wie das bis zur Gleichung weitergeht, falls ihr nicht darauf kommt ... ich muss aber für ca. 1/2 Stunde weg, ich komme dann wieder! mY+
03.12.2011, 15:49	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre doch dann: $\begin{eqnarray} F(e)-F(0)=9 \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}e^3+9e-te=9 \end{eqnarray}$ deine Gleichung enthält aber kein t mehr, wie geht das? Kann ich vom Ansatz oben etwas für t einsetzten? vielleicht $\begin{eqnarray} b=\sqrt{9-t} \quad \text{und} \quad b=e \end{eqnarray}$ dadurch könnte man t ersetzten. EDIT: habe es ausprobiert und es funktioniert
03.12.2011, 16:23	Eldoria	Auf diesen Beitrag antworten »
Verzeiht mir wenn ich mich dumm anstelle, aber so wirklich verstanden hab ichs nicht, vorallem da ich niemals darauf gekommen wäre den schwierigen Teil der Gleichung mit e zu ersetzen, vorallem weil wir sowas nie gemacht haben und die Aufgabe zu denen gehörte die wir für die Arbeit können müssten. Was ich auch nicht ganz verstehe ist warum e = 5,67 ist, müsste ich das dann nicht nochmal in meine Gleichung einsetzten ? Denn 5,67 müsste dann der Restliche Teil sein ? Im Lösungsbuch ist dies angegeben $\begin{eqnarray} y= 4,5(2-\sqrt[3]{2} )= 3,33 \end{eqnarray}$ Vielleicht könnt ihr damit mehr anfagen als ich? Nochmal Verzeihung für den Aufwand
03.12.2011, 16:46	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du im Leistungskurs Mathematik? Ich frage nur wegen der Schwierigkeit dieser Audgaben! Der Ansatz ist dir klar? $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\sqrt{9-t}}~(9-x²-t)~dx=9 \end{eqnarray}$ Dann die Stammfunktion: $\begin{eqnarray} F(x)=9x-\frac{1}{3}x^3-tx \end{eqnarray}$ Nur zur übersichtlicheren Rechnung wurde die obere Integrationsgrenze z.B. durch $\begin{eqnarray} e=\sqrt{9-t} \end{eqnarray}$ ersetzt. Du hättest es auch so lassen können, aber dann wirds halt unübersichlicher. dann war $\begin{eqnarray} F(e)-F(0)=9 \end{eqnarray}$ also obere minus untere Integrationsgrenze daraus entsteht die Gleichung (den teil mit 0 kann man gleich weglassen): $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}e^3+9e-te=9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e=\sqrt{9-t} \end{eqnarray}$ umstellen hach t: $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\begin{align} e &=\sqrt{9-t} \\ e^2 &=9-t \\ -e^2+9 &=t \end{align}\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ nun t ersetzten: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}e^3+9e-e(-e^2+9)=9 \end{eqnarray}$ und jetzt nach e auflösen und dann hat e einen bestimmten Zahlenwert. Den kannst du natürlich auch als Bruch schreiben bzw. als Wurzelausdruck. Danach dann Rücksubstitution: $\begin{eqnarray} e=\sqrt{9-t} \end{eqnarray}$ und dann nach t auflösen. Dann kommt ein Wurzelausdruck heraus, so ähnlich wie deine Lösung aus dem Lösungsbuch (also natürlich mit dem gleichen Zahlenwert).
03.12.2011, 17:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So, also jetzt: $\begin{eqnarray} \int_0^{\sqrt{9-t}} (9 - x^2 - t) \dd x = 9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^{\sqrt{9-t}} (9 - x^2 - t) \dd x = (9x - \frac{x^3} 3 - tx) \bigg\| _0^{\sqrt{9-t}} = 9 \sqrt{9-t} - \frac {(\sqrt{9-t})^3} 3 - t \sqrt{9-t} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 9 \sqrt{9-t} - \frac {(9-t) \sqrt{9-t}} 3 - t \sqrt{9-t} = (9 - t) \sqrt{9-t}-\frac{(9-t) \sqrt{9-t}} 3 = \frac 2 3 (9-t) \sqrt{9-t} \end{eqnarray}$ Wie's jetzt zu Ende zu rechnen ist, wird kein Problem mehr sein.
03.12.2011, 17:37	Eldoria	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs! Danke Danke, auch wenn ich das ganze noch reichlich kompliziert finde Also, dann kann ich das als Lösungsweg notieren (Bei Parabeln) Nullstelle berechnen, dann Integral von 0 bis Nullstellen, falls Nullstelle zu kompliziert Buchstaben einsetzten und bis dahin ausrechnen wies geht, dann den X-Wert nach dem Parameter Umstellen, wieder einsetzten, nun hat man den Buchstaben bzw y. Nun y wieder einsetzten und die Gleichung dann nach t umstellen Ist zwar aufwendig, aber verständlich, nochmal danke Ja, ich bin im LK, allerdings gehörte die Aufgabe eigentlich zum Grundniveau
03.12.2011, 17:49	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
prima! mYthos hat z.B. direkt eingesetzt. Das Umstellen einer solchen Gleichung erfordert schon ne Menge Übung vor allem mit den Potenzgesetzten und Ausklammern, Zusammenfassen etc. Was mir öfter passiert ist, war, dass ich auf Gleichungen bis zum 4.Grade gekommen bin, weil ich nicht alle "Tricks" beachtet habe. Ich wollte die Gleichung unbedingt wurzelfrei bekommen. Als kleine Anekdote: So enthält z.B. die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{4}{9}x^4-16x^3+216x^2-1215x+2187=0 \end{eqnarray}$ die Lösung Naja, man kann's sich auch kompliziert machen.

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