Erwartungswert der Dichte

03.12.2011, 11:18

Paulaaa

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Erwartungswert der Dichte

Hallo Leute,

wir haben folgenden Satz gehabt für eien reelle Zufallsvariable X mit Verteilung $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ und einer messbaren Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} E(g \circ X)=\int_\mathbb{R} gdP_x \end{eqnarray*}$

Daraus soll folgen, dass
$\begin{eqnarray*} EX=\int_\mathbb{R} x f(x)dx \end{eqnarray*}$
wenn f Dichte von X ist. Dazu setzte man g(x)=x.

Nur leider verstehe ich diese Folgerung nicht. Könnt ihr mir erklären, wie man darauf kommt?

03.12.2011, 11:37

Math1986

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RE: Erwartungswert der Dichte

Zitat:

Original von Paulaaa
Hallo Leute,

wir haben folgenden Satz gehabt für eien reelle Zufallsvariable X mit Verteilung $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ und einer messbaren Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} E(g \circ X)=\int_\mathbb{R} gdP_x \end{eqnarray*}$

Daraus soll folgen, dass
$\begin{eqnarray*} EX=\int_\mathbb{R} x f(x)dx \end{eqnarray*}$
wenn f Dichte von X ist. Dazu setzte man g(x)=x.

Nur leider verstehe ich diese Folgerung nicht. Könnt ihr mir erklären, wie man darauf kommt?

Einfach nur einsetzen:
$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_\mathbb{R} x dP_x=\int_\mathbb{R}x f(x)dx \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 12:06

Paulaaa

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RE: Erwartungswert der Dichte

Zitat:

Original von Math1986
Einfach nur einsetzen:
$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_\mathbb{R} x dP_x=\int_\mathbb{R}x f(x)dx \end{eqnarray*}$

Da ist mir der zweite Schritt noch nicht ganz klar. Da muss man ja wohl ausnutzen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} P_X(A)=\int_A f(x)dx \end{eqnarray*}$
Aber wie macht man das formal korrekt?

03.12.2011, 12:08

Math1986

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RE: Erwartungswert der Dichte

Zitat:

Original von Paulaaa

Zitat:

Original von Math1986
Einfach nur einsetzen:
$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_\mathbb{R} x dP_x=\int_\mathbb{R}x f(x)dx \end{eqnarray*}$

Da ist mir der zweite Schritt noch nicht ganz klar. Da muss man ja wohl ausnutzen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} P_X(A)=\int_A f(x)dx \end{eqnarray*}$
Aber wie macht man das formal korrekt?

Es ist doch
$\begin{eqnarray*} dP_x= f(x)dx \end{eqnarray*}$
Schau dir mal an, wie ihr das Maß-Integral definiert habt.

03.12.2011, 12:11

Paulaaa

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Also meine Frage ist eigentlich etwas allgemeiner.

Wie zeigt man, dass

$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb{R} g(x) dP_X=\int_\mathbb{R}g(x) f(x)dx \end{eqnarray*}$

wenn f Dichte von X ist.

03.12.2011, 12:13

Paulaaa

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RE: Erwartungswert der Dichte

Zitat:

Original von Math1986
$\begin{eqnarray*} dP_x= f(x)dx \end{eqnarray*}$
Schau dir mal an, wie ihr das Maß-Integral definiert habt.

Die Ausdrücke sind ohne Integral doch gar nicht definiert, oder?

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03.12.2011, 12:50

Math1986

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Zitat:

Original von Paulaaa
Also meine Frage ist eigentlich etwas allgemeiner.

Wie zeigt man, dass

$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb{R} g(x) dP_X=\int_\mathbb{R}g(x) f(x)dx \end{eqnarray*}$

wenn f Dichte von X ist.

Nochmals:
Schau dir mal an, wie ihr das Maß-Integral definiert habt.

03.12.2011, 13:04

Paulaaa

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Zitat:

Original von Math1986
Nochmals:
Schau dir mal an, wie ihr das Maß-Integral definiert habt.

Das weiß ich. Erst für einfache Funktionen, dann für nicht negative über Supremum der einfachen, die drunter liegen und dann für alle durch Aufteilung in $\begin{eqnarray*} f^+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^- \end{eqnarray*}$ .

03.12.2011, 13:08

dinzeoo

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Zitat:

Original von Paulaaa
Wie zeigt man, dass

$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb{R} g(x) dP_X=\int_\mathbb{R}g(x) f(x)dx \end{eqnarray*}$

wenn f Dichte von X ist.

setz da einfach folgendes ein:

Zitat:

Es ist doch
$\begin{eqnarray*} dP_X= f(x)dx \end{eqnarray*}$

du musst dir auch die definition eurer dichte anschaun, da gibt es unterschiedliche notationen aber ansich hat math86 schon alles gesagt...

03.12.2011, 13:28

Paulaaa

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Zitat:

Es ist doch
$\begin{eqnarray*} dP_X= f(x)dx \end{eqnarray*}$

Diese Aussage verstehe ich überhaupt nicht, da beide Ausdrücke nur in Zusammenhang mit dem Integral definiert sind und nicht für sich stehen können.
Die Dichte haben wir als messbare nichtnegative Funktion, definiert, so, dass sie über ganz R integriert 1 ergibt. Dann kann man recht leicht zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} P_X(A):=\int_A f(x)dx \end{eqnarray*}$
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R definiert.

03.12.2011, 13:33

Math1986

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Zitat:

Original von Paulaaa

Zitat:

Es ist doch
$\begin{eqnarray*} dP_X= f(x)dx \end{eqnarray*}$

Diese Aussage verstehe ich überhaupt nicht, da beide Ausdrücke nur in Zusammenhang mit dem Integral definiert sind und nicht für sich stehen können.

Da gibt es, wie schon gesagt, unterschiedliche Notationen, aber wenn du meinst...

Wie habt ihr diese Ausdrücke denn definiert? Meinst du nicht, dass das hilfreich seien könnte?

03.12.2011, 13:54

Paulaaa

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Zitat:

Original von Math1986
Wie habt ihr diese Ausdrücke denn definiert? Meinst du nicht, dass das hilfreich seien könnte?

Vielleicht könnte es hilfreich sein, aber wir haben sie nur in Verbindung mit dem Integral definiert.

03.12.2011, 14:02

Math1986

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Zitat:

Original von Paulaaa

Zitat:

Original von Math1986
Wie habt ihr diese Ausdrücke denn definiert? Meinst du nicht, dass das hilfreich seien könnte?

Vielleicht könnte es hilfreich sein, aber wir haben sie nur in Verbindung mit dem Integral definiert.

Das beantwortet meine Frage nicht, ich bin hier raus... Wink

Wink

03.12.2011, 14:28

dinzeoo

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Zitat:

Original von Paulaaa
Also meine Frage ist eigentlich etwas allgemeiner.

Wie zeigt man, dass

$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb{R} g(x) dP_X=\int_\mathbb{R}g(x) f(x)dx \end{eqnarray*}$

wenn f Dichte von X ist.

ok, habs mir doch mal genauer überlegt. man muss es doch über das standardgedöns lösen, also erst einfache funktionen/ treppenfunktion usw. das verfahren solltest du hoffentlich kennen, so beweist man vieles in der "integraltheorie".

ich fang mal an, werd es aber zum einen nicht zu ende rechnen und zum anderen nicht ganz detailiert weil eigentlich mag ich dieses basicintegralzeug nich. ansich muss das auch irgendwo in deinem skript stehen, vermutlich im maßtheorieteil. oft wird dann einfach auf maßtheorie verwiesen, so das man es nicht ganz raussieht.

zuerst also z.z. für treppenfunktionen:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\sum_{i=1}^{n}a_i1_{A_i} \end{eqnarray*}$

wie du schon sagtest gilt (statt dx nehm ich mal das lebesgue maß):
(*) $\begin{eqnarray*} P_X(A_i)=\int_{A_i} fd\lambda=\int 1_{A_i}fd\lambda \end{eqnarray*}$
das ist ja die definition falls X eine lebesgue dichte f besitzt. (beste bsp. X ist normalverteilt)

dann gilt deine aussage für treppenfunktionen weil:

$\begin{eqnarray*} \int gdP_X=\sum a_i P_X(A_i)=\sum a_i \int 1_{A_i}fd\lambda=\int \sum a_i 1_{A_i}fd\lambda=\int g fd\lambda \end{eqnarray*}$

erste gleichheitszeichen ist die definition des maßintegrals. zweite ist (*) eingesetzt. dritte vierte klar oder siehe maßtheorie.
damit hast es für treppenfunktionen gezeigt und ziehst es hoch für g messbare funktion...

ist es jetzt klarer?

03.12.2011, 14:33

dinzeoo

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Zitat:

Original von Paulaaa
Wie zeigt man, dass

$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb{R} g(x) dP_X=\int_\mathbb{R}g(x) f(x)dx \end{eqnarray*}$

wenn f Dichte von X ist.

nochwas, so kann man das garnicht anschreiben, ist mir erst gerade erst aufgefallen.
richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega gdP_X=\int_\mathbb{R}g(x) f(x)dx \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 19:20

Paulaaa

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Zitat:

Original von dinzeoo
nochwas, so kann man das garnicht anschreiben, ist mir erst gerade erst aufgefallen.
richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega gdP_X=\int_\mathbb{R}g(x) f(x)dx \end{eqnarray*}$

Ne, das ist falsch nach unserer Auffassung. Denn wir haben $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ als Maß auf R wie folgt definiert:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray*} X:\Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine reelle Zufallsvariable, dann definieren wir durch $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ ein Maß auf R:
$\begin{eqnarray*} P_X(A):=P(X^{-1}(A)) \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 19:31

Paulaaa

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Zitat:

Original von dinzeoo
ist es jetzt klarer?

Also deinem Beweis für einfache Funktionen (du nennst sie Treppenfunktionen, aber das ist was anderes, denke ich), kann ich durchaus folgen. Heißt das nun etwa, dass die Aussage
$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb{R} g(x) dP_X=\int_\mathbb{R}g(x) f(x)dx \end{eqnarray*}$
doch nicht so trivial ist, wie euch schien und nach diesem 3-schrittigen Beweisverfahren gezeigt werden muss?
Ich glaube ja durchaus, dass es stimmt, nur gerne wüsste ich, wie man zu dieser Erkenntnis kommt und in einem Skript wird einfach so getan, als sei das offensichtlich. Ist es das nun oder nicht?

03.12.2011, 21:32

dinzeoo

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Zitat:

Original von Paulaaa

Zitat:

Original von dinzeoo
nochwas, so kann man das garnicht anschreiben, ist mir erst gerade erst aufgefallen.
richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega gdP_X=\int_\mathbb{R}g(x) f(x)dx \end{eqnarray*}$

Ne, das ist falsch nach unserer Auffassung.

falsch ist das nicht. in dem fall ist mein $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . (z.b. ist das der fall bei der normalvertelung). aber im endeffekt dreht es sich hier nur um die notation. du verwendest ein argument x. ich kenn nur folgende notationen:

$\begin{eqnarray*} \int gdP_X=\int g(x) dP_X(x)=\int g(x) P_X(dx) \end{eqnarray*}$

kannst dir ja bei wikipedia auch mal das lebesguemaß anschaun, wenn ihr eine andere notation verwendet ist das ja auch ok.
z.b. ist es auch üblich für das riemannintegral(das auf der rechten seite ganz oben) nicht R zu benutzen sondern -unendlich bis unendlich. aber wie gesagt, alles nur notationszeug...

Zitat:

Original von Paulaaa
Also deinem Beweis für einfache Funktionen (du nennst sie Treppenfunktionen, aber das ist was anderes, denke ich)

ist sehr wahrscheinlich nicht das gleiche. schau dir einfach an ob ihr eure einfachen fktionen so definiert habt wie ich mein g(x) im beweis. wenn nicht, kannst du deine einfachen funktionen durch meine treppenfunktionen approximieren, wäre dann der zweite schritt im beweis, dann hast die aussage für einfache funktionen bewiesen usw.

Zitat:

Heißt das nun etwa, dass die Aussage
$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb{R} g(x) dP_X=\int_\mathbb{R}g(x) f(x)dx \end{eqnarray*}$
doch nicht so trivial ist, wie euch schien und nach diesem 3-schrittigen Beweisverfahren gezeigt werden muss?

jepp, so ist es. den ersten schritt hab ich ja schon gemacht. der grund warum wir uns vertan haben ist, dass man in der praxis oft dieses $\begin{eqnarray*} dP_X=fd\lambda \end{eqnarray*}$ benutzen muss und dann die gleichung als selbstverständlich anssieht.

Zitat:

in einem Skript wird einfach so getan, als sei das offensichtlich. Ist es das nun oder nicht?

in deinem skript wird und ja $\begin{eqnarray*} E(g \circ X)=\int_\mathbb{R} gdP_X \end{eqnarray*}$ bewiesen. dann ist der rest offensichtlich da man das einsetzen von $\begin{eqnarray*} dP_X=fd\lambda \end{eqnarray*}$ bzw. = $\begin{eqnarray*} f(x)dx \end{eqnarray*}$ in die gleichung wie gesagt als selbstverständlich anssieht. das ist quasi sonen standard move den man immer wieder macht, das er eigentlich garnicht näher erwähnenswert ist. nach dem motto das rad muss nicht immer neu erfunden werden... deshalb auch unsere einstellung am anfang des threads. trotzdem wurde es bestimmt mal explizit bei euch bewiesen...

vll als tipp allgmein, dieses ganze integrationszeug und auch wtheorie ist relativ uneinheitlich in der notation und vorallem ziemlich durcheinander bringend am anfang. versuch sehr auf die notation zu achten sprich wie was definiert ist, gross klein schreibung, riemannintegral vs. lebesgueintegral etc..... die stochastiker verkürzen nämlich alles was geht und machen dadurch gerade den anfang in diese theorie recht schwer(zumindestens für mich damals).

04.12.2011, 08:01

Paulaaa

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Okay, dann man herzlichen Dank für deine Mühe.

PS: Eine einfache Funktion war für uns eine nichtnegative messbare Funktion, die deren Bild endlich ist.

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