monoton fallende nullfolge

03.12.2011, 11:42

Das Lineal

monoton fallende nullfolge

Meine Frage:
Hallo zusammen
ich hab hier ne aufgabe bei der ich nicht mal ansatzweise weiter komme
Es sei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge,so dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Zeigen sie, dass dann $\begin{eqnarray*} na_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist

Meine Ideen:
der erste satz klingt nach Leibniz-kriterium, deswegen nehme ich an man soll des mit ihm beweisen. nur weiß ich net wie.

ich danke schon mal allen im voraus die mir helfen

03.12.2011, 11:54

tmo

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Nimm dir mal ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .

Wähle dir nun zuerst N so groß, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} > \sum_{k=N+1}^n a_k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N+1 \end{eqnarray*}$ gilt. (Warum geht das?)

Wähle dir dann $\begin{eqnarray*} n > N+1 \end{eqnarray*}$ so groß, dass $\begin{eqnarray*} Na_n < \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ gilt. (Warum geht das?)

Schätze nun mal bei $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} > \sum_{k=N+1}^n a_k \end{eqnarray*}$ weiter nach unten ab, d.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} > \sum_{k=N+1}^n a_k > ... \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 12:17

Das Lineal

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also ich denk mal mit N meinst n0

Zitat:

Wähle dir nun zuerst N so groß, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} > \sum_{k=N+1}^n a_k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N+1 \end{eqnarray*}$ gilt. (Warum geht das?)

des darf man ja weil nach vorrausetung die reihe konvergiert

Zitat:

Wähle dir dann $\begin{eqnarray*} n > N+1 \end{eqnarray*}$ so groß, dass $\begin{eqnarray*} Na_n < \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ gilt. (Warum geht das?)

ich glaube des geht weil die folge monotn fallend ist

Zitat:

Schätze nun mal bei $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} > \sum_{k=N+1}^n a_k \end{eqnarray*}$ weiter nach unten ab, d.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} > \sum_{k=N+1}^n a_k > ... \end{eqnarray*}$

also wäre mein abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} > \sum_{k=N+1}^n a_k > \sum_{k=N+1}^n 2a_k. \end{eqnarray*}$ , so dass man man sagen kann $\begin{eqnarray*} \varepsilon >a_k \end{eqnarray*}$

04.12.2011, 16:44

Das Lineal

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Kann mir einer bitte sagen ob meine überlegungen richtig sind.

04.12.2011, 17:10

Ungewiss

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Deine zweite Abschätzung ist doch offensichtlich nicht richtig? Benutz das die Folge monoton Fallend ist, d.h.
Für N+1<=k<=n ist ak >= an.

Ausserdem der zweite Hinweis von tmo funktioniert, weil die Folge eine Nullfolge ist, nicht weil sie monoton fallend ist.

Siehe auch hier: Beweis einer Nullfolge

04.12.2011, 17:33

Das Lineal

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also erstmal danke für eure antwort
$\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} > \sum_{k=N+1}^n a_k > \sum_{k=N+1}^n Na_k\Rightarrow \sum_{k=N+1}^n Na_k \end{eqnarray*}$ konvergiert
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow na_{n} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge
so würde mein beweis au sehen ist das richtig ???

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