ggT von Polynomen |
| 03.12.2011, 11:49 | Benz | Auf diesen Beitrag antworten » |
| ggT von Polynomen Als Aufgabe sollen wir den ggT von der Funktion p(x) und seiner Ableitung bestimmen und p(x) in seine Linearfaktoren zerlegen. p(x)=x^8-25x^7+270x^6-1642x^5+6133x^4-14349x^3+20412x^2-15984x+5184 p'(x)=8x^7+175x^6-8210x^4+24532x^3-43047x^2+40824x-15984 Ich hab das jetzt schon versucht, indem ich bei jeweils beiden Nullstellen gesucht habe, dann mit Polynomdivision durch jeweils diesen Linearfaktor geteilt, dann wieder gesucht usw. Der ggT ist doch dann jenes Polynom, dass sich aus den Linearfaktoren zusammensetzt, die in p(x) und p'(x) vorkommen oder? Ist eine ellenlange Rechnung, wenn man das für p(x) und p'(x) macht. Geht das nicht auch eleganter? Eigentlich müsste doch der Euklidische Algorithmus hier weiterhelfen, um den ggT zu bekommen, das führt jedoch bei mir zu keinem Ergebnis. Auch wenn ich mir das im Internet ausrechnen lasse, steht da dann irgendwann "Abbruch, weil der Grad des Divisors größer ist als der des Dividend" Ich weiß nicht was ich falsch mache 
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| 03.12.2011, 12:25 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was is'n das für ein Programm, welches diesen Quotienten nicht berechnen kann? Nebenbei, deine Ableitung p'(x) ist falsch, wie hat du denn diese berechnet (berechnen lassen?) Die Auswertung des Bruches p(x) / p '(x) liefert Damit kann nun durch neuerliche Division der ggT nach Euklid bestimmt werden, weil der Rest nach der Division Null ist. (Nullstellen des Zählers des gekürzten Bruches sind 1, 3, 4) mY+ |
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| 03.12.2011, 12:44 | Benz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ups, ja jetzt wo du es sagst, ich habe +1620 x^5 vergessen abzutippen. Nein, die Ableitung habe ich noch selber hinbekommen 
Mal eine dumme Frage: Wie bist du denn jetzt auf diesen Bruch gekommen? Ich habe gerade ein Brett vorm Kopf |
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| 03.12.2011, 12:52 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
In der Ableitung befindet sich ausserdem noch ein Vorzeichenfehler (175 x^6), den Bruch habe ich mit DERIVE berechnet. Ohne Programm wird's etwas mühsam, denn da müssen die Nullstellen erraten werden (ganzzahlige sind jeweils Teiler des konstanten Summanden). Zähler: 1, 3 (4fach), 4 (3fach)) Nenner: 4 (doppelt), 3 (3fach), 8x^2 - 39x + 37 mY+ |
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| 03.12.2011, 13:05 | Benz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Oh, ja, mist...ist aber auch nur ein Fehler beim Abtippen gewesen. Gut, nur sollen wir das halt handschriftlich lösen, entschuldige, das hatte ich nicht geschrieben. Muss ich das dann auf meine komplizierte Art lösen? http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomggt.htm Das Programm hier zum Beispiel spuckt aus, dass der ggT 1 ist. Wie habe ich das jetzt zu verstehen? |
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| 03.12.2011, 13:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
ggT = 1 heisst, dass die beiden Terme teilerfremd sind. Das ist natürlich Unsinn, offensichtlich versagt hier das Programm infolge der hohen Zahlen. Wie erwähnt, manuell geht's mühsamer, durch Erraten einer Nullstelle und fortgesetzter Division durch deren Linearfaktor. Das Erstellen einer Wertetabelle und das Horner-Schema kann auch ganz hilfreich sein. Die Nullstellen habe ich dir ohnehin schon verraten. Der ggT setzt sich nun aus den gemeinsamen Linearfaktoren zusammen, und das sind ja einige ... (5 an der Zahl) mY+ |
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| 03.12.2011, 13:24 | Benz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, so habe ich das ja im Prinzip gemacht: Nullstellen gesucht und dann erstmal p(x) durch die den Nullstellen entsprechenden Linearfaktoren geteilt und das gleiche dann mit der Ableitung auch noch. Nur sind das ja dann über 10 Polynomdivisionen weil man ja nicht am Anfang schon weiß ob eine Nullstelle einfach, doppelt oder dreifach vorkommt. Und der ggT setzt sich dann aus den gemeinsamen Linearfaktoren zusammen, das hatte ich ja oben schon geschrieben, ich war mir nur nicht sicher. Meine Frage war halt, ob es einen einfacheren Weg gibt als diese ganzen Polynomdivisionen zu machen... |
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| 03.12.2011, 13:40 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn es einen einfacheren (algebraischen) Weg gäbe, wäre dies eine Revolution auf diesem mathematischen Gebiet. Allgemeine Gleichungen höheren Grades als 4 sind formelmäßig, also auf algebraischen Wege, nicht zu lösen. Allerdings gibt es dazu entsprechende Näherungsverfahren, welche relativ schnell und bequem die (reellen) Nullstellen liefern können. Ein guter Lösungsweg ist die graphische Methode, denn sie liefert Anhaltspunkte, wo denn ungefähr die Nullstellen liegen können und wie viele davon reell oder komplex sind. Eine Gleichung 8. Grades kann theoretisch keine einzige reelle Nullstelle besitzen, wenn es 8 komplexe Lösungen gibt. Komplexe Lösungen treten immer paarweise auf. Somit ist sicher, dass eine Gleichung 7. Grades zumindest eine reelle Nullstelle besitzt. Hier z.B. der Graph von p(x): mY+ |
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| 03.12.2011, 13:50 | Benz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja okay, schade...wäre zu schön gewesen
Ich habe mir die beiden Polynome auch mal von Geogebra zeichnen lassen, das kommt ja auf das gleiche hinaus... Naja, dann werde ich mich wohl mit meiner Monster-Rechnung noch ein bisschen beschäftigen. Vielen Dank für deinen kompetente Hilfe !! |
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