Binominalkoeffizienten & Lehrsatz

03.12.2011, 14:26

BOL!

Binominalkoeffizienten & Lehrsatz

Meine Frage:
Hallo,
hänge ziemlich an der folgenden Aufgabe:

Zeigen Sie
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} n \\ 1 \\ \end{pmatrix}+\left(...\right)+ \begin{pmatrix} n \\ n \\ \end{pmatrix}= 2^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Tipp ist: (1+1)^n, ich weiß es hat mit dem Binominalkoeffizienten zu tun.
Wenn ich obigen Tipp ausrechne, komme ich aber auf kein vernünftiges Ergebnis mit dem k!

daher folgender Ansatz;
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{0!\times (n-0)!}+\frac{n!}{1!\times (n-1)!}+ \frac{n!}{n!\times 1}= 1+ 1+ n= 2+ n \end{eqnarray*}$

Für Tipps bin ich dankbar!

03.12.2011, 14:31

Math1986

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RE: Binominalkoeffizienten & Lehrsatz
Wende den binomischen Lehrsatz mal auf $\begin{eqnarray*} (1+1)^n \end{eqnarray*}$ an Augenzwinkern

03.12.2011, 14:48

BOL!

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Das habe ich ja wie geschrieben bereits versucht.

Es kommen dann trotzdem noch "k"s bei mir vor...

$\begin{eqnarray*} (1+1)^{n}= 1^{n}+ \begin{pmatrix} n \\ 1 \\ \end{pmatrix}*1^{n-1}+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \\ \end{pmatrix}*1^{n}+\left(...\right) +\begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}*1^{n}+\begin{pmatrix} n \\ n-1 \\ \end{pmatrix}*1*1^{n-1}= 1^{n}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \\ \end{pmatrix}*1^{n}+\begin{pmatrix} n \\ 2 \\ \end{pmatrix}*1^{n}+ \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}*1^{n}+ \begin{pmatrix} n \\ n-1 \\ \end{pmatrix}*1^{n} \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 14:54

Math1986

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Zitat:

Original von BOL!
Das habe ich ja wie geschrieben bereits versucht.

Nein, hast du nicht geschrieben.

Zitat:

Original von BOL!
Es kommen dann trotzdem noch "k"s bei mir vor...

$\begin{eqnarray*} (1+1)^{n}= 1^{n}+ \begin{pmatrix} n \\ 1 \\ \end{pmatrix}*1^{n-1}+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \\ \end{pmatrix}*1^{n}+\left(...\right) +\begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}*1^{n}+\begin{pmatrix} n \\ n-1 \\ \end{pmatrix}*1*1^{n-1}= 1^{n}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \\ \end{pmatrix}*1^{n}+\begin{pmatrix} n \\ 2 \\ \end{pmatrix}*1^{n}+ \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}*1^{n}+ \begin{pmatrix} n \\ n-1 \\ \end{pmatrix}*1^{n} \end{eqnarray*}$

Dein k läuft ja gerade von 0 bis n, also:

$\begin{eqnarray*} 2^n=\left(1+1\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk =\binom n1+\cdots+\binom nn \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 15:02

BOL!

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Siehe
Tipp ist: (1+1)^n, ich weiß es hat mit dem Binominalkoeffizienten zu tun.
Wenn ich obigen Tipp ausrechne, komme ich aber auf kein vernünftiges Ergebnis mit dem k!

-----

Also kann ich für k= n einsetzen?
Ich wüsste aber trotzdem dann nicht wie ich auf 2^n kommen sollte damit..

03.12.2011, 15:07

Math1986

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Zitat:

Original von BOL!
Siehe
Tipp ist: (1+1)^n, ich weiß es hat mit dem Binominalkoeffizienten zu tun.
Wenn ich obigen Tipp ausrechne, komme ich aber auf kein vernünftiges Ergebnis mit dem k!

Da steht nicht, dass du versucht hast, den binomischen Lehrsatz anzuwenden.

Zitat:

Original von BOL!
Also kann ich für k= n einsetzen?
Ich wüsste aber trotzdem dann nicht wie ich auf 2^n kommen sollte damit..

Ich habe dir doch schon vorgerechnet, wie du auf den gesuchten Term kommst.

Das "K" ist immer noch der Laufindex in deiner Summe.
Schau dir erstmal an, wie das Summenzeichen definiert ist und wie man damit rechnet!

03.12.2011, 15:26

BOL!

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$\begin{eqnarray*} 2^n=\left(1+1\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk =\binom n1+\cdots+\binom nn \end{eqnarray*}$

Ich weiß schon was mir die Summe sagt:

Wir lassen von k von 0 bis n durchlaufen für n über k., dass ergibt letztere Reihe.
Wie allerdings du von der Summe auf (1+1)^n kommst ist mir unklar.

Sorry für das Nachbohren aber ich wills gerne verstehen
smile

03.12.2011, 15:30

Math1986

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Zitat:

Original von BOL!
Wir lassen von k von 0 bis n durchlaufen für n über k., dass ergibt letztere Reihe.
Wie allerdings du von der Summe auf (1+1)^n kommst ist mir unklar.

Binomischer Lehrsatz! Nachschlagen!

03.12.2011, 15:33

BOL!

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Da ich diesen Satz schon an die zwanzig Mal gelesen habe und nicht verstehe wird das nichts bringen, daher stelle ich die Frage hier,

aber danke für die tipps

04.12.2011, 00:30

Orlando

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Zitat:

Original von BOL!
$\begin{eqnarray*} 2^n=\left(1+1\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk =\binom n1+\cdots+\binom nn \end{eqnarray*}$
(...)
Wie allerdings du von der Summe auf (1+1)^n kommst ist mir unklar.

Erst mal gar nicht. Musst du doch auch nicht. Du sagst erst mal $\begin{eqnarray*} 2^n = (1 + 1)^n \end{eqnarray*}$ - klar.

Danach zeigst du, dass $\begin{eqnarray*} \left(1+1\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk 1^{n-k} 1^k \end{eqnarray*}$ . Das ist der binomische Lehrsatz mit x=1 und y=1. Jetzt ist klar, das alle Potenzen von 1 wiederum 1 sind und die Multiplikation mit 1 weggelassen werden kann. Damit erhalten wir: $\begin{eqnarray*} \left(1+1\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk \end{eqnarray*}$ . Das brauchst du jetzt nur noch ausschreiben. Du hast den Beweis jetzt quasi von links nach rechts geführt. Da aber alle Umformungen ein "gleich" enthielten, kann man sie auch umdrehen, und hat damit die Aussage bewiesen.

Ich hoffe, das war jetzt halbwegs verständlich.
Gruß, Orlando

04.12.2011, 11:42

BOL!

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Hallo Orlando, danke für deine Erklärung. Wir kommen der Sache schon viel näher, aber ich weiß einfach nicht wo mein Verständnisfehler sitzt. Es ist bestimmt wieder mal nur eine Kleinigkeit.

Ich versuche weiter einfach zu unklares zu erfragen.
$\begin{eqnarray*} \left(1+1\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk 1^{n-k} 1^k \end{eqnarray*}$
Bis hierhin kann ich folgen.

- Aber warum weiß ich jetzt, dass alle Potenzen von 1 wiederum 1 sind?
Rechne ich jetzt nicht die rechte Seite aus?

$\begin{eqnarray*} 1^{k} *1^{n-k} = 1^{n-k+k} = 1^{n} \end{eqnarray*}$ ?

Achso, oder setze ich für k=0 ein und erhalte $\begin{eqnarray*} 1^{0} * 1^{n-0} = 1 * 1^{n} \end{eqnarray*}$ ...

...

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