Maximumsmetrik

03.12.2011, 14:43

JuPee

Maximumsmetrik

Meine Aufgabe:
In $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ sei als "Abstand" die Maximumsmetrik
$\begin{eqnarray*} d(A,B) = d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})) := max\left\{ | x_{1}-x_{2}|,| y_{1}-y_{2}| \right\} \end{eqnarray*}$
definiert. Bestimmen Sie die Menge der Punkte, die von A(0,0) und B(0,1) den gleichen Abstand haben (d.h. die Mittelsenkrechte von AB (Strecke) bzgl. der Abstandsdefinition).

Mein Problem:
Ich kann mit dem max ... irgendwie nichts anfangen.
Wenn ich jetzt z.B. den Punkt P(1,0) nehme, dann wäre der Abstand zu A max{1,0}.
Was bedeutet das jetzt?

Danke für eure Hilfe.

03.12.2011, 19:15

Cel

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Na, was ist denn das Maximum der Menge {0,1}? Welches ist das maximalen Element?
Edit: Stimmt die Metrik so? Kommt mir irgendwie komisch vor ...

10.11.2012, 22:56

imagemixer

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hat jemand noch ein Tip zu der Aufgabe ?

12.11.2012, 00:08

Leopold

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Da ist wohl etwas mit den Indizes oder den Bezeichnern $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ durcheinander geraten. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} d \left( (x_1,y_1) \, , \, (x_2,y_2) \right) = \max \left\{ \, \left| x_1 - x_2 \right| \, , \, \left| y_1 - y_2 \right| \, \right\} \end{eqnarray*}$

Für einen Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ , der gleich weit von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ entfernt ist, gilt daher

$\begin{eqnarray*} \max \left\{ \, |x| \, , \, |y| \, \right\} = \max \left\{ \, |x-1| \, , \, |y| \, \right\} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist zu lösen.
Wenn man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 1-x \end{eqnarray*}$ ersetzt (das entspricht einer Spiegelung an der Geraden $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ) und wenn man $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} -y \end{eqnarray*}$ ersetzt (das entspricht einer Spiegelung an der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse), geht die Gleichung in sich über. Es genügt daher, den Fall

$\begin{eqnarray*} \text{(+)} \ \ x \geq \frac{1}{2} \ \ \text{und} \ \ y \geq 0 \end{eqnarray*}$

zu betrachten und die Ergebnismenge an den oben genannten Geraden zu spiegeln. Für die vereinfachte Situation $\begin{eqnarray*} \text{(+)} \end{eqnarray*}$ gilt also

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \max \left\{ x,y \right\} = \max \left\{ |x-1|,y \right\} \end{eqnarray*}$

A)

Sei zunächst $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wahr. Womit $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ von der Halbgeraden $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2}, y \geq 0 \end{eqnarray*}$ gelöst wird.

B)

Jetzt wird $\begin{eqnarray*} x > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ betrachtet. Hier gilt $\begin{eqnarray*} |x-1| < x \end{eqnarray*}$ .

B1)

Ist nun $\begin{eqnarray*} y \geq x \end{eqnarray*}$ , so ist in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ das Maximum auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , und die Gleichung ist immer wahr.

B2)

Ist dagegen $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ , so geht $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} x = \max \left\{ |x-1|,y \right\} \end{eqnarray*}$

über. Wäre nun rechts $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ das Maximum, stünde $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ da, was $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ widerspricht. Wäre dagegen $\begin{eqnarray*} |x-1| \end{eqnarray*}$ das Maximum, stünde $\begin{eqnarray*} x = |x-1| \end{eqnarray*}$ da, was $\begin{eqnarray*} x > |x-1| \end{eqnarray*}$ widerspricht. Für $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ gibt es also keine Lösungen.

Damit sind alle Lösungen unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \text{(+)} \end{eqnarray*}$ gefunden. Jetzt noch die eingangs erwähnten zwei Spiegelungen durchführen.

12.11.2012, 01:57

imagemixer

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besten Dank, die Spiegelung ist ja dann simpel und es kommt $\begin{eqnarray*} x beliebig, |y| \geq 1/2 \end{eqnarray*}$ heraus.

12.11.2012, 06:30

Leopold

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Das ist aber eine gewagte Interpretation. unglücklich

12.11.2012, 11:30

imagemixer

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Ich meine $\begin{eqnarray*} |y| \geq x für x ungleich 1/2 ,sonst x=1/2 \end{eqnarray*}$ heraus.

12.11.2012, 16:37

Leopold

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Zitat:

Original von imagemixer (Latex korrigiert)
Ich meine $\begin{eqnarray*} |y| \geq x \end{eqnarray*}$ für x ungleich 1/2 ,sonst $\begin{eqnarray*} x=1/2 \end{eqnarray*}$ heraus.

Ich weiß jetzt nicht genau, worauf du dich mit deiner Ungleichung beziehst. Wenn du weiterhin von $\begin{eqnarray*} \text{(+)} \end{eqnarray*}$ ausgehst, dann verstehe ich nicht, wieso du bei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Betragsstriche hast. Ansonsten fehlt noch die vollständige Lösung. Irgendwie alles ein bißchen unklar.

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