Quadratische Funktion + Tangente

03.12.2011, 16:05

Pho3nix2k

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Quadratische Funktion + Tangente

Hallo allerseits. Da ich neu bin, hoffe ich, dass ich das richtige Unterforum getroffen habe. Ansonsten entschuldigung und bitte verschieben.

Ich habe folgende Hausaufgabe aufbekommen (den Text habe ich etwas gekürzt):

Gerade geht durch A(4|0). Parabel y=0,5(x-4)²+5 und Gerade haben einen Punkt gemeinsam.

a) Steigung berechnen
b) gemeinsamen Punkt berechnen

Leider habe ich keine Ahnung, wie man daraus die Steigung berechnen soll. Habe schon das halbe web durchsucht aber nichts gefunden, womit ich was anfangen kann...

gegeben habe ich also:

f(g)=mx + n (oder auch b)

A(4|0)

f(p)=x² - 8x + 26 // f(p)=0,5(x-4)²+5

S(4|5)

Das Problem ist eigentlich m auszurechnen, wenn ich m habe kann ich ja n berechnen und anschließend die Funktionen gleichsetzen um den gemeinsamen Punkt zu ermitteln....

Für den Anfang würde mir ein kleiner Tipp schon reichen, da ich die Aufgabe möglichst selber lösen möchte (zumindest fast Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

lg

03.12.2011, 16:46

Bjoern1982

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Setz doch mal den Punkt A in d die Geradengleichung y=mx+b ein und löse nach b auf.
Damit hast du nur noch die Steigung m als Unbekannte.
Setze danach mit dem Parabelterm gleich und überlege dir wie viele Lösungen die daraus entstehende quadratische Gleichung haben muss, wenn die Gerade als Tangente fungieren soll.

03.12.2011, 16:49

original

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RE: Hausaufgabe Quadratische Funktion + Tangente

Zitat:

Original von Pho3nix2k

Gerade geht durch A(4|0). Parabel y=0,5(x-4)²+5 und Gerade haben einen Punkt gemeinsam.

a) Steigung berechnen
b) gemeinsamen Punkt berechnen

gegeben habe ich also:

f(g)=mx + n (oder auch b)

A(4|0)

Ansatz für die Gerade schreibst du richtig so: f(x) = mx + n

und wenn du A einsetzt ,
bekommst du
y= m*(x-4)

die Parabelgleichung y= 0,5(x-4)²+5

und jetzt schau genau hin..

Tipp:
berechne die Schnittpunkte..
und für welches m gibt es genau nur eine Lösung?

versuchs mal..

sorry, da war jemand schon schneller..

03.12.2011, 17:16

Pho3nix2k

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Danke erstmal. Also ganz verstanden habe ich es nicht aber ich veruche es mal:

A(4|0) in f(x)=mx + b

0 = 4m + b
b = 4m

dann hab ich aber immer noch b und m als unbekannte....und womit kann ich das dann gleichsetzen? Entweder ich weiß irgendwas wichtiges nicht von Parabel <=> Tangente oder aber ich steh voll auf dem Schlauch....

@original

das mit demm f(g) habe ich geschrieben, damit man sieht, dass es die Funktion der Geraden ist...darf ich das nicht? unglücklich

unglücklich

und wie kommst du auf das:

Zitat:

Original von original
y= m*(x-4)

Wenn du den Punkt A (x=4|y=0) einsetzt??

03.12.2011, 17:27

original

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Zitat:

Original von Pho3nix2k

das mit demm f(g) habe ich geschrieben, damit man sieht, dass es die Funktion der Geraden ist...darf ich das nicht !

und wie kommst du auf das:

y= m*(x-4)

Wenn du den Punkt A (x=4|y=0) einsetzt??

genau:
wenn du aus
0 = 4m + b
nach b = .. auflöst bekommst du NICHT b=4m sondern ...?

usw...

03.12.2011, 17:33

Pho3nix2k

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ja sry ich bin schon ganz wirsch ich bekomme natürlich:

b=-4m

langsam wirds peinlich Big Laugh

Big Laugh

aber wie mache ich dann weiter?

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03.12.2011, 17:37

original

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Zitat:

Original von Pho3nix2k

b=-4m

aber wie mache ich dann weiter?

y= mx+b

b= -4m eingesetzt:

y= mx - 4m

m ausklammern ... gibt y= ...?

wie es dann weitergehen könnte ?
... steht schon oben notiert...

03.12.2011, 17:47

Pho3nix2k

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y=m*(x-4)

Freude

ok und dann setze ich:

m*(x-4)=x² - 8x + 26

und dann komme ich leider nicht weiter, wenn das überhaupt richtig ist jetzt....

03.12.2011, 17:53

original

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Zitat:

Original von Pho3nix2k

m*(x-4)=x² - 8x + 26

.

unglücklich

x² - 8x + 26 ist NICHT gleich 0,5(x-4)²+5

also:

0,5(x-4)²+5 = m*(x-4)

(x-4)² - 2m*(x-4) + 10 = 0

und nochmal: schau genau hin..
usw (siehe oben)

03.12.2011, 18:11

Pho3nix2k

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unglücklich x² - 8x + 26 ist NICHT gleich 0,5(x-4)²+5

ja mein Fehler, wir haben so viel Nullstellen berechnet, es ist nur 0=x² - 8x + 26

aber 0,5y=x² - 8x + 26 korrekt so oder?

leider weiß ich immer noch nichts mit (x-4)² - 2m*(x-4) + 10 = 0 anzufangen weil halt noch 2 unbekannte da sind....ich hab langsam das gefühl, dass ich irgendwas wichtiges nicht weiß, was ich wissen müsste um das zu lösen, aber macht nichts, vielleicht komme ich ja doch noch drauf.....

P.S. danke übrigens für deine Geduld...

03.12.2011, 18:21

original

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Zitat:

Original von Pho3nix2k

aber 0,5y=x² - 8x + 26 korrekt so oder? unglücklich

unglücklich

(x-4)² - 2m*(x-4) + 10 = 0 anzufangen
weil halt noch 2 unbekannte da sind....

.

du hast eine quadratische GHleichung
u² - 2m* u +10 = 0

und sollst herausfinden, für welche Werte des Parameters m
die quadratische Gleichung nur genau eine Lösung hat

kennst du denn irgendeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen ?

03.12.2011, 18:32

Pho3nix2k

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da sag ich mal spontan p-q formel....und wenn dann genau eine lösung vorhanden sein soll, muss die Diskriminante D=0 sein, d.h. - 2m*(x-4) + 10 = 0

nur weiter, ich kann die lösung schon riechen Gott

Gott

das mit dem

x² - 8x + 26 = 0,5(x-4)²+5

stell ich mal zurück, da ich nicht weiß, warum das nicht dasselbe sein soll, außer das das eine die Normalform und das andere die Scheitelpunktsform ist, nur halt umgeformt....

03.12.2011, 18:51

original

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Zitat:

Original von Pho3nix2k
da sag ich mal spontan p-q formel....und wenn dann genau eine lösung vorhanden sein soll,
muss die Diskriminante D=0 sein... Freude

Freude

..., d.h. - 2m*(x-4) + 10 = 0 unglücklich

unglücklich

.

in der Diskriminanten D kommt doch zB die Variable NICHT mehr vor

schlage halt notfalls nach und
wende die dir also bekannte pq-Formel nun richtig an auf :

u² - 2m* u + 10 = 0

nebenbei:

x² - 8x + 26 = 0,5(x-4)²+5

".. da ich nicht weiß, warum das nicht dasselbe sein soll,.."

dann multipliziere doch die Klammer rechts mal aus .. also: mal 1/2 ..
das beginnt dann rechts mit 0,5*x² -...
links steht aber 1*x² - ...
usw
WARUM gilt also das "=" nicht ?

03.12.2011, 19:18

Pho3nix2k

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aaahhhh ja klar.....

da bei f(x)= x² + px + q das (x-4) = x ist ist dann p= -2m also gilt: Diskriminante=0

((-2m)/2))²-10 = 0

und:

ich glaube ich weiß wo der fehler von der anderen Sache liegt, ich darf das nur durch 0,5 teilen, wenn ich die Nullstellen mit der p-q-Formel berechnen will richtig?

weil ich ja dafür dann zwingend die form x² + bx + c = 0 brauche....aber halt auch nur dafür.

04.12.2011, 10:00

original

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Zitat:

Original von Pho3nix2k

.. ist ist dann p= -2m also gilt: Diskriminante=0

((-2m)/2))²-10 = 0

u² - 2m* u + 10 = 0 ...->... p= -2m ...->.. Lösungsformel u1/2 = - p/2 + - ...

also u1/2 = +m +- ...

und D= m² -10

... was folgt denn daraus jetzt für m, wenn D gleich 0 sein soll?
und welches sind dann die x-Werte der Tangentenberührpunkte?

***

für deine Aufgabe gibt es ja verschiedene Lösungswege

zB
mit etwas Geometriekenntnissen:

der Punkt A(4;0), durch den die Tangenten an die Parabel p gehen sollen,
liegt auf der Symmetrieachse von p

Die Subtangente wird vom Parabelscheitel S(4 ; 5) halbiert,
also haben die Tangentenberührpunkte die Ordinate y=10

y=10 in die Parabelgleichung eingesetzt ergibt die beiden x-Werte der Berührpunkte
und mit dem Steigungsdreieck kann dann noch m sofort hingeschrieben werden.
fertig.

04.12.2011, 13:34

Pho3nix2k

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Zitat:

((-2m)/2)²-10 = 0

sollte nur die Diskriminante sein aus

$\begin{eqnarray*} x=-\frac{-2m}{2}+-\sqrt{\left(\frac{-2m}{2}\right)²-10} \end{eqnarray*}$

halt ausführlich und schon = 0 gesetzt und nicht die p-q-Formel....ist ja das gleiche wie deine nur halt noch nicht ausgerechnet....

$\begin{eqnarray*} <br /> D=\left(\frac{-2m}{2}\right)²-10<br /> <br /> D = m² - 10<br /> <br /> D=0<br /> <br /> 0 = m² - 10<br /> <br /> m=\sqrt{10} , m = -\sqrt{10}<br /> \end{eqnarray*}$

x mache ich gleich noch, bin gerade am laptop und gehe gleich mal an den schreibtisch mit echtem PC Big Laugh

Big Laugh

Subtangente und Ordinate habe ich leider noch nie gehört....

Vielen Dank für die Hilfe soweit schreib dann gleich mal das Ergebnis wenn ich es habe.

lg

04.12.2011, 19:38

Pho3nix2k

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Da mir die Aufgabe doch ziemlich schwer fällt und ich den Lösungsweg ja sinnvoll nachvollziehen muss,habe ich den ganzen Weg nochmal zusammengefasst:

Aufgabe:

Gerade geht durch A(4|0). Parabel y=0,5(x-4)²+5 und Gerade haben einen Punkt gemeinsam.

a) Steigung berechnen
b) gemeinsamen Punkt berechnen

Zuerst habe ich A(4|0) in $\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$ eingesetzt und anschließend nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} <br /> 0=4m+n<br /> <br /> n=-4m<br /> \end{eqnarray*}$

Anschießend $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> y=mx-4m<br /> <br /> y=m*(x-4)<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

danach $\begin{eqnarray*} y=m*(x-4) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=0,5(x-4)²+5 \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> m*(x-4)=0,5(x-4)²+5<br /> <br /> 0=0,5(x-4)²-m*(x-4)+5<br /> <br /> 0=(x-4)²-2m*(x-4)+10<br /> \end{eqnarray*}$

Es handelt sich hier jetzt um eine quadratische gleichung der Form $\begin{eqnarray*} y=ax²+bx+c \end{eqnarray*}$ , für die es nur eine einzige lösung geben soll, d.h. die $\begin{eqnarray*} Diskriminante \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} D=0 \end{eqnarray*}$ sein. Also muss:

$\begin{eqnarray*} <br /> D=\left(\frac{-2m}{2}\right)²-10<br /> \end{eqnarray*}$
Null sein:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> 0=\left(\frac{-2m}{2}\right)²-10<br /> <br /> 0=(-m)²-10<br /> <br /> 0=m²-10<br /> <br /> m²=10<br /> <br /> m=\sqrt{10}; m=-\sqrt{10}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle wird sehr deutlich, dass es 2 verschiedene Tangenten gibt, da wir für die Steigung einen negativen und einen positiven Wert ermittelt haben....

nachdem ich m jetzt habe, habe ich b ausgerechnet, indem ich den Punkt $\begin{eqnarray*} A(4|0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=\sqrt{10} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} m=-\sqrt{10} \end{eqnarray*}$ eingesetzt habe:

$\begin{eqnarray*} <br /> y=mx+b<br /> <br /> 0=4\sqrt{10}+b<br /> <br /> b=-4\sqrt{10}<br /> <br /> <br /> y=\sqrt{10}x-4\sqrt{10}<br /> \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} <br /> y=mx+b<br /> <br /> 0=4-\sqrt{10}+b<br /> <br /> b=-4-\sqrt{10}<br /> <br /> <br /> y=-\sqrt{10}x-4-\sqrt{10}<br /> \end{eqnarray*}$

Es gibt also definitiv 2 Geraden bzw. Tangenten:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{10}x-4\sqrt{10} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y=-\sqrt{10}x-4-\sqrt{10} \end{eqnarray*}$

dann habe ich die Gleichungen gleichgesetzt um die Schnittpunkte zu ermitteln...

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \sqrt{10}x-4\sqrt{10}=0,5x²-4x+13<br /> <br /> <br /> 0=0,5x²-4-\sqrt{10}x+13+4\sqrt{10}<br /> <br /> <br /> 0=x²-8-2\sqrt{10}x+26+8\sqrt{10}<br /> <br /> x=-\frac{-8-2\sqrt{10}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-8-2\sqrt{10}}{2}\right)²-(26+8\sqrt{10})}<br /> <br /> x=4+\sqrt{10}\pm\sqrt{0}<br /> <br /> x=4+\sqrt{10}<br /> \end{eqnarray*}$

und natürlich:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> -\sqrt{10}x-4-\sqrt{10}=0,5x²-4x+13<br /> <br /> <br /> 0=0,5x²-4+\sqrt{10}x+13+4-\sqrt{10}<br /> <br /> <br /> 0=x²-8+2\sqrt{10}x+26-8\sqrt{10}<br /> <br /> x=-\frac{-8+2\sqrt{10}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-8+2\sqrt{10}}{2}\right)²-(26-8\sqrt{10})}<br /> <br /> x=4-\sqrt{10}\pm\sqrt{0}<br /> <br /> x=4-\sqrt{10}<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen nur noch die y-Werte ermittelt werden:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> y=0,5x²-4x+13<br /> <br /> y=0,5*(4+\sqrt{10})²-4*(4+\sqrt{10})+13<br /> <br /> y=10<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> y=0,5*(4-\sqrt{10})²-4*(4-\sqrt{10})+13<br /> <br /> y=10<br /> \end{eqnarray*}$

Antwort A: Die Steigung der geraden ist $\begin{eqnarray*} m=\sqrt{10} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} m=-\sqrt{10} \end{eqnarray*}$ .

Antwort B: Die Berührungspunkte von Parabel und Gerade sind $\begin{eqnarray*} P1(4-\sqrt{10}|10) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P2(4+\sqrt{10}|10) \end{eqnarray*}$ .

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn nochmal jemand drüberschauen würde, ob ich alles richtig erfasst habe. Würde die Aufgabe dann gerne morgen meinen Mitschülern erklären, und mal meinem Mathelehrer zeigen, ich weiß ja nicht, ob dieser einen anderen Lösungsweg wählen wird.

04.12.2011, 21:34

original

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ja, das ist im Prinzip schon richtig so
(bis auf die falschen Tangentengleichungen - siehe unten)

aber der ganze lange Schlussteil ist praktisch nicht mehr nötig..
dh ab der Stelle:

$\begin{eqnarray*} 0=(x-4)²-2m*(x-4)+10<br /> \end{eqnarray*}$
Es handelt sich hier jetzt um eine quadratische gleichung ..
bei der die Diskriminante D=0 sein soll , was dann zu

$\begin{eqnarray*} m=\sqrt{10}; m=-\sqrt{10}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

führte und damit zu den Lösungen (dh zu den x-Werten der beiden Berührpunkte) :

$\begin{eqnarray*} (x-4) = - \sqrt{10} \Rightarrow x_{1} = 4 - \sqrt{10}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-4) = \sqrt{10} \Rightarrow x_{2} = 4 + \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

die Gleichung der beiden Tangenten hast du auch schon längst aus dem Ansatz y= m*(x-4)
da brauchst du bloss die beiden gefundenen Werte für m einsetzen
und hast die RICHTIGEN beiden Gleichungen für die Tangenten:

$\begin{eqnarray*} y= x\sqrt{10} - 4\sqrt{10}<br /> <br /> y=- x\sqrt{10} + 4\sqrt{10}<br /> \end{eqnarray*}$

ACHTUNG: oben hast du diese Gleichungen falsch notiert !

und um dann den y-Wert 10 zu bekommen, kannst du nun den jeweils entsprechenden x-Wert
des Berührpnktes hier noch einsetzen

und dann bist du schon fertig..

ok?

05.12.2011, 09:50

Pho3nix2k

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führte und damit zu den Lösungen (dh zu den x-Werten der beiden Berührpunkte) :

$\begin{eqnarray*} (x-4) = - \sqrt{10} \Rightarrow x_{1} = 4 - \sqrt{10}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-4) = \sqrt{10} \Rightarrow x_{2} = 4 + \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

Wie bist du hier auf (x-4) gleich m gekommen?

Sry schreibe gerade vom Handy...

Und warum habe ich trotz falscher tangentengleichungen das gleiche Ergebnis für die Koordinaten?

05.12.2011, 10:54

original

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Zitat:

Original von Pho3nix2k

Wie bist du hier auf (x-4) gleich m gekommen?

$\begin{eqnarray*} 0=(x-4)²-2m*(x-4)+10<br /> \end{eqnarray*}$
Es handelt sich hier jetzt um eine quadratische gleichung .

mit u= x-4

$\begin{eqnarray*} u^2-2mu+10 =0 \end{eqnarray*}$

und der zugehörigen Lösungsformel :

$\begin{eqnarray*} u= m \pm \sqrt{D} \end{eqnarray*}$

wobei dann mit D=0 folgt m=sqrt(10) oder m= -sqrt(10)
und damit wird aus der Lösungsformel

$\begin{eqnarray*} u= \pm \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

nun wieder x-4 für u einsetzen gibt

$\begin{eqnarray*} x-4= \pm \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

den Rest wirst du hoffentlich jetzt alleine blicken...

und noch kurz dazu:
"Und warum habe ich trotz falscher tangentengleichungen das gleiche Ergebnis für die Koordinaten? "
weil du den y-Wert mit der Parabelgleichung richtig berechnet hast
(und nicht mit der falschen Tangentengleichung)

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