Basis des Lösungsraums berechnen

03.12.2011, 16:39	kicker_nadja	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Lösungsraums berechnen Meine Frage: Berechnen Sie die Basis des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungsystems habe in Matrixform: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & -8 & -13 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Lösung: ich vertausche die ersten beiden Zeilen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & -8 & -13 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann rechne ich die erste Zeile mal 2 und addiere es zu der zweiten und zu der dritten zeile addiere ich die erste Zeile $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & -6 & -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Oder soll ich die zweite Zeile dann noch mit der dritten addieren um (0,5,0,0) zu erhalten?
03.12.2011, 17:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, mindestens das, und weiterrechnen. Um eine Basis zu berechnen, musst du den Lösungsraum kennen.
03.12.2011, 18:05	kicker_nadja	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann hab ich die letzte matrix mit: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann will ich die lösungsmenge mit rückwärts auflösen beginnen: x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0 -6x3 - 10x4 = 0 5x2 = 0 dann weiß ich nicht mehr weiter.... ist x2 = 5? x3 = 10x4 : -6 ?
04.12.2011, 09:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 2. Zeile durch 5 teilen und von der 1. Zeile abziehen. Die 3. Zeile durch -6 teilen und von der 1. Zeile 2 mal abziehen. Eine Variable ist frei, setze z.B. x4=t. ( x3 hast du dann schon fast richtig, das darf man allerdings so nicht schreiben, sondern x3=10x4/(-6)=-5/3t [wichtig ist hier, dass -6 in Klammern stehen muss] ). Aus 5x2=0 folgt natürlich x2=0 ( das steht bei Division der 2. Zeile durch 5 schon da, denn 1x2=x2) .
04.12.2011, 14:58	kicker_nadja	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich deine schritte befolge komme ich dann auf die matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -0,34 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1,67 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ stimmt das? die zahlen kommen mir ziemlich krumm vor... darf mein bei Gauß überhaupt subtrahieren und dividieren?
04.12.2011, 16:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Krumme Zahlen gibt es nur dann, wenn du nicht mit Brüchen arbeitest, was wesentlich besser wäre. Wer mit Gauß ein lineares Gleichungssystem lösen möchte, braucht die vier Grundrechenarten. Subtraktion ist die Multiplikation mit -1 und die Addition. Division durch a ist die Multiplikation mit dem Kehrwert von a.
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