Potenzreihenentwicklung-wie funktioniert das?

03.12.2011, 18:20

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

Potenzreihenentwicklung-wie funktioniert das?

Meine Frage:
hallo ihr lieben im matheforum
ich bin das erste mal hier aber ich kann schon mal im vorraus sagen ich bin ne chaotin in mathe ich hoffe ihr könnt mir helfen

also bei mir gehts um die potenzreihen entwicklung
und ich komm aber schon mit den basisgrundzügen nicht klar
ich soll nämlich eine potenzreihenentwicklung zu

2/(x^2-3x+2) machen und da fängt bei mir das chaos schon an

Meine Ideen:
ich hab jetzt das skript angeschaut und einen tipp bekommen ich muss ne partialbruchzerlegung machen da dacht ich die wäre
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)
also gesamt
2/ (x-1) *1/(x-2)
dann wäre aber die potenzreihenzerlegung
2/(x-1) ? (2)^k aber ich glaub das ist falsch weil nach der summe laut skript und einem forumsbeitrag den ich gelesen habe eine bruch stehen muss dann dachte ich vlt ist die zerlegung
= x* (x-3+2/x) ?
ich weis leider nicht weiter welches jetzt ansatzweise richtig ist oder ob alles falsch ist
ich hoffe ihr könnt mir helfen
danke schon mal im vorraus smile

smile

03.12.2011, 19:09

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihenentwicklung-wie funktioniert das?

Zitat:

Original von fragebögelchen
ich hab jetzt das skript angeschaut und einen tipp bekommen ich muss ne partialbruchzerlegung machen da dacht ich die wäre
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)
also gesamt
2/ (x-1) *1/(x-2)

unter Partialbruchzerlegung versteht man $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x^2-3x+2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2} \end{eqnarray*}$
Die Brüche werden durch ein Plus getrennt, nicht durch ein Mal.

Mit einer kleinen Umformung kann man dann in den einzelnen Summanden die harmonische Reihe sehen
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 19:11

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte natürlich geometrische Reihe

03.12.2011, 19:31

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihenentwicklung-wie funktioniert das?
erst mal vielen lieben dank für die antwort smile

smile

ich bin immer beeindruckt über mathematiker die sich auskennen
irgendwie kann ich skripte lesen wie ich will und komm net vorwärts
danke also nochmal

also meinst du dann mit der umformung

2/(x-2) ∑1/(x-1) ?
irgendwie such ich halt immer ne übereinstimmung mit dem skript deshalb will ich immer die 2 verteilen ich hoff das ist net ganz falsch

03.12.2011, 19:32

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihenentwicklung-wie funktioniert das?
hmm irgendwie hat er mir statt der summenformel: ∑ geschrieben

03.12.2011, 19:43

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann nicht wirklich erkennen, was mit "2/(x-2) <Summenformel> 1/(x-1) ?" gemeint ist.
Aber da du den Zähler weiterhin scheinbar willkürlich auf die Nenner aufteilst, hängt es wohl an der Partialbruchzerlegung, ich gebe dir mal einen Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x^2-3x+2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2} \end{eqnarray*}$ |*Hauptnenner
$\begin{eqnarray*} 2=A(x-2)+B(x-1) \end{eqnarray*}$ Diese Gleichung gilt für jedes x, also kann man auch eines Wählen und dann damit weiterrechnen. Wenn man das x geschickt wählt, fällt eine der beiden Klammern weg/wird 0, man kann nach A bzw. B auflösen.

Anzeige

03.12.2011, 19:52

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

wie meinst du für x=2 einsetzen ?
ich steh wirklich extrem auf dem schlauch

03.12.2011, 19:56

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

x=2 ist eine gute Wahl smile

smile

Setzen wir mal ein, dann steht B ja schon fast da:
$\begin{eqnarray*} 2=A(2-2)+B(2-1) \end{eqnarray*}$
B=?

03.12.2011, 20:03

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

B = 1
ahhhhhhhhhhh ich habs verstanden cooool und dann hab ich die geometrische reihe wie toll Augenzwinkern

Augenzwinkern

vielen vielen vielen dank smile

smile

und A =0 oder ?
ahhhhh wie geil ich freu mich Augenzwinkern

Augenzwinkern

dankeee

03.12.2011, 20:07

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz:
$\begin{eqnarray*} 2=A(2-2)+B(2-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=A\cdot 0+B\cdot 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=2 \end{eqnarray*}$
A musst du auch nochmal berechnen

03.12.2011, 20:11

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja stimmt dich hab die 2=B*1 vergessen danke
und A ist doch bestimmt analog oder?

also
2= A(x-2)+B(x-1)
also
2= A(1-2)+B(1-1)
also
2=A*(-1)+B*0
--> 2=A*(-1)
also

A= -2
Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2011, 20:14

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt die Sache.
Zusammenfassend: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x^2-3x+2}=\frac{-2}{x-1}+\frac{2}{x-2} \end{eqnarray*}$
Und wie sieht es dann in der Reihendarstellung aus?

03.12.2011, 20:17

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

oje hmm
gut dass du fragst das wird wohl der nächste kampf ^^
2/(x-2) summe von 2/(x-1)
???
so würd ich sagen

03.12.2011, 20:19

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

oh ehm nee
2/(x-2) summe von (2/(x-2))^k oder?
so ähnnlich ist es im skript aber da ist es irgendwie im allgemeinen komplett anders

03.12.2011, 20:22

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

ah nee irgendwie gar net
da fehtl mir ein summe von q^k also muss ich 1/ 1-q
ist dann hier hmm :
ah ich teil alles durch 2 und hab dann
1/ x/2-1 also ist die summe von x/2 oder?

03.12.2011, 20:27

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird jetzt Formeltechnisch etwas komplizierter, könntest du daher bitte den Formeleditor verwenden? Wenn du nicht weißt, wie du etwas schreibst, kopiere einfach das, was ich geschrieben habe in das Eingabefeld und ändere es entsprechend ab.
Ich weiß nicht, was "2/(x-2) summe von 2/(x-1)" heißen soll, jedoch sieht es nicht so aus, wie auf meinem Blatt.
Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$
Hier haben wir jedoch nicht 1-x, sondern x-1 oder gar x-2, das müssen wir also noch etwas umformen, um es als Summe schreiben zu können.

"ah ich teil alles durch 2 und hab dann
1/ x/2-1 also ist die summe von x/2 oder? "
das ist ein sehr gut, jetzt nur noch das die 1 nach vorne und das x/2 nach hinten bringen.

Ich bin für ca. 30 Minuten weg, die Katze möchte Gassi gehen, werde danach wieder helfen, wenn sich in der Zeit kein anderer Helfer finden sollte.

03.12.2011, 20:40

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok das ist dann laut unserem skript

$\begin{eqnarray*} \\frac{2}{x-1}*sum_{2/x}^k \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 20:44

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

also das hat net so ganz geklappt nochmal ^^
$\begin{eqnarray*} 2/(x-2)+1/1-2/x \end{eqnarray*}$

also in summenformel

$\begin{eqnarray*} 2/(x-2)*sum_{x/2}^k \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 20:45

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

sry ich komm et so ganz mit dem schreiben klar
ich wollte sagen die summe von (2/x)^k

03.12.2011, 20:56

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Sache hast du noch nicht beachtet:
Wir brachen einen Ausdruck wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ , haben aber $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{x-1} \end{eqnarray*}$ , wie können wir den in den gewünschten umformen (beachte, dass im Nenner 1-... stehen muss)?

03.12.2011, 21:08

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

ich dachte das hat sich erledigt wenn ichs vor der summenformel multipliziere

03.12.2011, 21:20

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst so? (deine Antwort von oben, Backslash verschoben): $\begin{eqnarray*} (???)=\frac{2}{x-1}\cdot \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{2}{x})^k \end{eqnarray*}$ (Ich habe wirklich Schwierigkeiten zu verstehen, was du sagen willst, was soll dieser Term überhaupt ausdrücken, soll das die Reihendarstellung für den gesamten Ausdruck sein?)
Aber wir wollen den Bruch doch gerade nicht schreiben, sondern durch eine Reihe ersetzen.

03.12.2011, 21:44

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

ich will letztlich eigentlich die ersten 5 glieder der potenzreihenentwicklung ^^
darauf arbeit ich hin ^^
aber anscheinend bau ich die ganze zeit mist

03.12.2011, 21:58

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

ehm ist es dann so:

2/1-x + -1/1-x/2

03.12.2011, 21:58

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

Ob wirklich alles Mist ist weiß ich nicht, da ich kaum verstehe, was deine Formeln sagen sollen, lass den Kopf nicht hängen smile

smile

Wir wollen also (zunächst) die Reihendarstellung für
$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{x-1}+\frac{2}{x-2} \end{eqnarray*}$

Teilen wir unser Problem auf:
gesucht ist die Reihendarstellung für $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{x-1} \end{eqnarray*}$ plus die für $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x-2} \end{eqnarray*}$

Konzentrieren wir uns auf den ersten Summanden:
Damit er in die Formel für die geometrische Reihe passt, müssen wir ihn etwas umformen:
$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{x-1}=\frac{2}{-(x-1)}=\frac{2}{1-x}=2 \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$
Jetzt haben wir im Bruch das ergebnis der geometrischen Reihe, können also die Reihendarstellung dafür schreiben:
$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{x-1}=2 \sum_{k=0}^\infty x^k \end{eqnarray*}$

Und jetzt mach du den anderen Summanden.
Du hattest bisher (richtigerweise) vereinfacht: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x-2}=\frac{1}{0,5x-1} \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 22:09

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die motivation und gedult
ich hoffe sehr dass ich es noch verstehen werde
aber du erklärst auch mit ruhe und gedult das finde ich super danke nochmal smile

smile

so dann muss bestimmt umformung hier sein :
1/0.5x-1 = -1/1-0.5x = die summe von (0.5x)^k?

03.12.2011, 22:16

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

So?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0,5x-1}=\frac{-1}{1-0,5x}= \sum_{k=0}^{\infty}(0,5x)^k \end{eqnarray*}$

Du hast (beim Abtippen?) ein Minuszeichen vor der Summe vergessen, da im Zähler eine -1 steht. $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x-2}=\frac{-1}{1-0,5x}=-\sum_{k=0}^{\infty}(0,5x)^k \end{eqnarray*}$

Ansonsten ist das richtig, du hast es geschafft Tanzen

Tanzen

03.12.2011, 22:22

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

^^ noch net ganz ich hab ja jetzt
zwei summen die sich addieren und brauch noch die ersten 5 glieder ^^
dann hab ich doch eigentlich am schluss die minus summe von ((1+0,5)*x) oder ?
und setz dann nur noch für x von 0-5 ein oder?

03.12.2011, 22:33

Nutzername

Auf diesen Beitrag antworten »

"dann hab ich doch eigentlich am schluss die minus summe von ((1+0,5)*x) oder ?"
Du willst du die beiden Summenzeichen zusammenfassen?

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x^2-3x+2}=2\sum_{k=0}^{\infty}x^k-\sum_{k=0}^{\infty}(0,5x)^k \end{eqnarray*}$ ist die fertige Reihendarstellung, das lässt sich nicht mehr vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} a^c \cdot b^c= (a\cdot b)^c \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} a^c+b^c \neq (a+b)^c \end{eqnarray*}$
Du musst für beide Summenzeichen k=0 bis 5 einsetzen und zusammenzählen.
Und da ich vollstes Vertrauen in dich habe, dass du das hinbekommst, gehe ich jetzt schlafen, gute Nacht. smile

smile

03.12.2011, 22:43

fragebögelchen :)

Auf diesen Beitrag antworten »

hihi vielen dank Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich wünsche dir eine gute nacht
und danke dir nochmal für deine gedult Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »