Reihenwert berechnen

03.12.2011, 19:32

chMath228

Reihenwert berechnen

Meine Frage:
Guten Abend Allerseits,

Ich soll den Reihenwert von folgender Reihe bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=p+1}^k \frac{1}{n^{2}- p^{2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe die ganze Geschichte zunächst einmal umgeformt und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=p+1}^k \frac{1}{n^{2}- p^{2} } = \frac{1}{2p}\left(\sum\limits_{n=p+1}^k \frac{1}{n-p}-\sum\limits_{n=p+1}^k \frac{1}{n+p} \right) \end{eqnarray*}$

Durch Indexverschiebung erhalte ich ja:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=p+1}^k \frac{1}{n^{2}- p^{2} } = \frac{1}{2p}\left(\sum\limits_{n=p+1}^k \frac{1}{n-p}-\sum\limits_{n=p+1}^k \frac{1}{n+p} \right) = \frac{1}{2p}\left(\sum\limits_{n=1}^{k-p} \frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2p+1}^{k+p} \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Und genau ab hier liegt mein Problem. Ich weiss nicht genau wie ich weiter hantieren könnte. Ich habe folgenden Tip bekommen, wie man den Ausdruck noch weiter bearbeiten müsste:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2p}\left(\sum\limits_{n=1}^{2p} \frac{1}{n}+\sum\limits_{n=2p+1}^{k-p} \frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2p+1}^{k-p} \frac{1}{n}-\sum\limits_{n=k-p+1}^{k+p} \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Jedoch habe ich echt keine Ansatz wie man auf diesen Ausdruck kommt. Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte, da ich nun schon den ganzen Abend an dieser Aufgabe sitze.

03.12.2011, 20:35

weisbrot

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RE: Reihenwert berechnen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2p}\left(\sum\limits_{n=1}^{2p} \frac{1}{n}+\sum\limits_{n=2p+1}^{k-p} \frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2p+1}^{k-p} \frac{1}{n}-\sum\limits_{n=k-p+1}^{k+p} \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

die ersten beiden summen addieren sich zu deiner ersten summe, die letzten beiden zu deiner zweiten. also kommst du von deinem letzten ausdruck direkt durch "aufspalten" deiner summen auf diesen ausdruck. lg

03.12.2011, 21:18

chMath228

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RE: Reihenwert berechnen
hi, danke erst mal für die schnelle antwort.
meinst du das etwa so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{k-p} \frac{1}{n}=\sum\limits_{n=1}^{2p} \frac{1}{n}+\sum\limits_{n=2p+1}^{k-p} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Wie spaltet man das auf oder wie kommt man auf die 2p, k+p und die beiden startwerte? danke im voraus

03.12.2011, 21:25

weisbrot

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RE: Reihenwert berechnen
naja schreib dir die summen halt mal aus dann siehst dus Augenzwinkern

03.12.2011, 21:45

chMath228

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RE: Reihenwert berechnen
hmm, ohh man sorry, aber komm nicht drauf verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{2p} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2p} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2p+1}^{k-p} \frac{1}{n} =\frac{1}{2p+1}+\frac{1}{3p+2}+\frac{1}{4p+3}...+\frac{1}{k-p} \end{eqnarray*}$

hat das irgendwas mit partialsummenzerlegung zu tun?

03.12.2011, 22:02

weisbrot

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RE: Reihenwert berechnen

Zitat:

naja und die summe davon $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2p}+\frac{1}{2p+1}+\frac{1}{3p+2}+\frac{1}{4p+3}+...+\frac{1}{k-p} = \sum\limits_{n=1}^{k-p} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

das ganze geht natürlich nur unter der voraussetzung dass 2p<k-p ist

03.12.2011, 22:10

chMath228

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RE: Reihenwert berechnen
oh man danke. es wird klarer, wenn das Ganze nochmal ausgeschrieben da steht.
aber könntest du mir nochmal erklären wie drauf kommt? hättest du da einen trick, wie man das hätte aufspalten können?

03.12.2011, 22:14

chMath228

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RE: Reihenwert berechnen
sorry, meine frage war etwas unklar. ich meinte, wenn man den ausdruck :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{k-p} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ hat, wie gehe ich da ran um es aufzuspalten?

03.12.2011, 22:17

weisbrot

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RE: Reihenwert berechnen
öhm.. naja du nimmst irgendeine zahl p zwischen der unteren und oberen summationsgrenze, also zw. 1 und k-p, dann lässt du die summe halt "getrennt" erst von 1 bis zu dieser zahl p laufen, und danach noch von der nächsten zahl, also p+1 bis zur oberen grenze k-p, damit wieder alles komplett ist sozus.. du machst also nichts anderes als die summe etwas anders aufzuschreiben

03.12.2011, 22:27

chMath228

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RE: Reihenwert berechnen
danke nochmal erst für deine schnelle antworten.

hmm, also liegt 2p zwischen 1 und k-p?

03.12.2011, 22:31

weisbrot

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RE: Reihenwert berechnen
genau das hatte ich schon gesagt

Zitat:

das ganze geht natürlich nur unter der voraussetzung dass 2p<k-p ist

03.12.2011, 22:44

chMath228

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RE: Reihenwert berechnen
hätte man also statt 2p also auch etwas anderes nehmen können, solange das ganze kleiner ist als k-p, richtig?

03.12.2011, 22:49

chMath228

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RE: Reihenwert berechnen
jetzt ne ganz blöde frage. also eine zahl p zwischen 1 und k-p. sei mal voraussgesetzt, dass k>=3p+1 wäre. ok, dann wäre 2p<k-p. aber woher weiss ich das 2p>1 ist?

04.12.2011, 12:48

weisbrot

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RE: Reihenwert berechnen
du musst natürlich p irgendwie eingeschränkt haben. wenn p natürliche zahl ist (ohne 0) dann reicht das ja

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