Komplexe Zahl: Gleichung beweisen

03.12.2011, 19:42

barracuda317

Komplexe Zahl: Gleichung beweisen

EDit (mY+): Titel modifiziert.

Für alle komplexen Zahlen z \ {0}

$\begin{eqnarray*} $$\left| \frac{z}{ \sqrt{z*\bar{z}} } \right|=1$$ \end{eqnarray*}$

Dies soll gezeigt werden

03.12.2011, 19:48

Iorek

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Was willst du uns mit diesem Post sagen? verwirrt

Gibt es dazu eine Aufgabenstellung, eine Frage, hast du ein Problem mit der Aussage oder was sollst du machen?

03.12.2011, 19:52

barracuda317

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Oh sorry, da ist was abhanden gekommen.

Ich soll zeigen, dass das gilt für alle z aus den komplexen zahlen ohne 0.

Ein Zwischenschritt war

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{z}{ \sqrt{z*\bar{z}} } \right| \end{eqnarray*}$

Den Bruch zwischen den Betragsstrichen möchte ich gern Quadrieren. Darf ich das?

03.12.2011, 19:55

Iorek

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Ich würde aufs quadrieren verzichten.

Setze $\begin{eqnarray*} z=x+i\cdot y \end{eqnarray*}$ und sieh dir dann einmal den Nenner an, dieser lässt sich damit auch anders schreiben und vereinfachen.

03.12.2011, 19:59

barracuda317

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$\begin{eqnarray*} $$\left| \frac{x+yi}{ \sqrt{x^2+y^2} } \right|$$ \end{eqnarray*}$

Aber was bringt mir das?

03.12.2011, 20:01

Iorek

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Was ist denn ein anderer Ausdruck für $\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ?

03.12.2011, 20:54

barracuda317

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Zitat:

Original von Iorek
Was ist denn ein anderer Ausdruck für $\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2+y^2}=\sqrt{ (x+yi)* (x-yi) } \end{eqnarray*}$

Ich krieg die wurzel aber nicht weg. Wenn ich durch Multiplikation mit 1 die Wurzel umwandel steht sie trotzdem im Zähler

03.12.2011, 21:04

mYthos

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Die Wurzel geht auch nicht weg und das braucht sie auch nicht.
Ist dir der Betrag einer komplexen Zahl bekannt?
___________

Und bitte: Auf bessere Titelwahl achten! Daraus geht NICHT hervor, um was es sich eigentlich handelt. "Für alle komplexen Zahlen ..." kann viel gelten!

mY+

03.12.2011, 21:23

barracuda317

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Er ist mir insofern bekannt, als dass er dargestellt werden kann als:

$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt {x^2+y^2} = \sqrt{z*\bar{z}} \end{eqnarray*}$

Ich bin nun etwas weiter gekommen. Jedoch will sich mir die 1 noch nicht erkenntlich zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a}{\sqrt{a^2*b^2}^2}+\frac{b}{\sqrt{a^2*b^2}^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt { \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}} \end{eqnarray*}$

03.12.2011, 21:26

mYthos

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Nein, nicht so kompliziert! Vergiss das gleich wieder, es ist auch noch falsch. Bleib bei dem von vorhin!
___________

Nun, dann kannst du doch die Wurzel durch |z| ersetzen! Nun noch den Betrag des Zählers ... und gut ist es.

mY+

03.12.2011, 21:37

barracuda317

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Zitat:

Original von barracuda317
$\begin{eqnarray*} $$\left| \frac{x+yi}{ \sqrt{x^2+y^2} } \right|$$ \end{eqnarray*}$

Aber was bringt mir das?

Aber warum soll ich beim Zähler den Betrag nehmen? Weicht das nicht von der Ursprungsgleichung ab?

03.12.2011, 22:25

barracuda317

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{a^2} {a^2+b^2}) + (\frac{b^2} {a^2+b^2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt\frac {a^2+b^2}{a^2+b^2} =\sqrt{1} = 1 \end{eqnarray*}$ = smile

Dieses Ergebnis sollte mir dann bei der zweiten Teilaufgabe weiterhelfen:

Zeigen Sie weiter, dass $\begin{eqnarray*} z, \frac {z}{|z|} , f(z) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ auf einer Geraden durch den Ursprung liegen.

Hinweis: Bestimmen Sie hierzu für jedes $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ \ {0} reelen Zahlen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} z= \lambda\frac {z}{|z|}=\mu |f(z)| \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} f(z):= z \to \frac{1}{\bar{z}} \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \mu=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht recht, was mir das bringt.

03.12.2011, 22:28

mYthos

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Nachdem im Nenner also der Betrag von z steht (das hast du bisher nicht geschrieben oder offenbar nicht erkannt; ist dir das jetzt eigentlich klar?), kannst du diesen VOR den Betrag des ganzen Bruches schreiben. Nun gibt's nur noch den Zähler, von dem nun ebenfalls der Betrag zu schreiben ist.
Nun, was wird dann wohl das Ergebnis sein?

Alternativ dazu können Real- und Imaginärteil getrennt durch |z| dividiert werden und letztendlich von der solcherart ermittelten komplexen Zahl der Betrag berechnet werden. Das Resultat ist natürlich dasselbe.

mY+

03.12.2011, 22:33

barracuda317

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Wäre der Alternative Lösungsweg dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|z|}*|z| \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich noch einfacher. Dass der Nenner der Betrag ist, war mir klar. Jedoch wusste ich nicht, dass ich ihn aus dem Betrag rausziehen darf. Dieser Weg ist dann natürlich noch einfacher smile

03.12.2011, 22:40

mYthos

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Leider hatte ich deinen (editierten) vorletzten (!) Beitrag beim Absenden noch nicht gesehen.
In etwa hast du das aber jetzt richtig gemacht.
Es ist so einfach, aber man muss sich das natürlich dennoch überlegen.
_______

Ja, so wie zuletzt! Das wäre der ursprünglich von uns vorgeschlagene Weg.

mY+
_______

Die zweite Aufgabe gab's vor kurzem hier im Forum. Ich muss das erst suchen (oder warst du das schon einmal?)

_______

So, ich hab's schon: --> Komplexe Zahlen: Gerade

03.12.2011, 23:11

barracuda317

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Danke, das hilft mir weiter smile

Ausstehend ist jetzt nur noch die letzte Aufgabe, die alles vereinen soll.

Erklären Sie nun, wieso die Aufgabe "Spiegelung am Einheitskreis" heißt. Vergleichen Sie dazu $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(z)| \end{eqnarray*}$ . Was passiert, wenn eine der beiden Zahlen kleiner als 1 ist?

Mein Problem ist dabei zuerst $\begin{eqnarray*} |f(z)| \end{eqnarray*}$

Dafür habe ich:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{\bar{z}}| \end{eqnarray*}$

Wie drösel ich das auf, dass ich es mit den mir bekannten Sätzen umformen kann?

03.12.2011, 23:39

mYthos

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Bei der Spiegelung am Einheitskreis wird sich der Winkel von z und f(z) nicht ändern, und das Produkt der Beträge von z und f(z) muss 1 betragen.

Deine Aufgabe ist es nun, dies für die angegebene Funktion f(z) nachzuweisen.
Berechne dazu zunächst

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {\overline z} \end{eqnarray*}$

und zeige, dass die Winkel von Argument und Funktionswert gleich sind. Und zum Schluß vergleiche deren Beträge.
Tipp: Setze z = x + iy

mY+

03.12.2011, 23:53

barracuda317

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Okay ich probiere es einmal:

$\begin{eqnarray*} f(x+yi) = \frac{1}{x-yi} \end{eqnarray*}$

der Winkel von z ist: $\begin{eqnarray*} arctan(\frac{y}{x}) \end{eqnarray*}$

Nun fehlt mir noch der Winkel von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-yi} \end{eqnarray*}$ . Wie bringe ich dies in die Form mit x+yi?

04.12.2011, 00:58

mYthos

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Du musst 1/z noch weiter berechnen (den Bruch mit x + iy erweitern). Daduch wird der Nenner reell und der Tangens des Winkels mit dem von z vergleichbar.

mY+

05.12.2011, 01:15

barracuda317

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Ich bin nun insofern weiter gekommen, als dass ich weiß, dass

$\begin{eqnarray*} |f(z)| = \frac {1} {|z|} \end{eqnarray*}$

Damit ist |f(z)| Kehrwert zu |z|

Für das Beispiel

$\begin{eqnarray*} |z| = 0,8 \end{eqnarray*}$ ergibt das: $\begin{eqnarray*} |f(z)| =\frac{1}{|z|} = 1,25 \end{eqnarray*}$

Eins liegt als im Einheitskreis und das andere außerhalb. Aber was hat das genau mit Spiegelung zu tun?

Kann dann auch gern in Analysis verschoben werden. Habe das wohl falsch eingestellt.

05.12.2011, 01:21

mYthos

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Doch klar (wurde schon festgestellt bzw. geschrieben): Das Produkt der beiden Beträge muss 1 ergeben! Und der Winkel muss gleich bleiben. Das war doch das ursprüngliche Problem (?)
_________________

Zur Algebra passt's ja (Rechnen mit komplexen Zahlen)

05.12.2011, 01:25

barracuda317

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Ah okay, das mit dem Produkt der Beträge ist ja beim Kehrwert eindeutig. Ich weiß, dass z und f(z) auf einer Gerade liegen und damit den gleichen Winkel haben. Hilft mir das auch beim Winkelkriterium bei der Spiegelung weiter?

05.12.2011, 01:32

mYthos

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Das siehst du, wenn du (endlich) den Kehrwert 1/z berechnest (wie vor zwei Beiträgen bereits erwähnt).

mY+

05.12.2011, 01:37

barracuda317

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Meinst Sie den Kehrwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\bar{z}} \end{eqnarray*}$ ?
Ich habe dafür:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+y^2}+i*\frac{y}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Ah smile

Gut schaut es aus:

Der Winkel davon ist wieder der Winkel von z smile

Wie muss ich mir so eine Spiegelung bildlich vorstellen? Daran hapert es noch.

05.12.2011, 01:57

mYthos

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Zu dieser "Spiegelung" gibt es eine geometrische Konstruktion:

Nehmen wir an, |z| sei größer als 1: Dann werden vom Endpunkt von z an den Einheitskreis die Tangenten gelegt und die Berührungspunkte mit einer Sehne verbunden. Dort, wo die Sehne den Vektor von z schneidet, ist der Endpunkt de gespiegelten Zeigers.
Das gilt natürlich auch umgekehrt, d.h. wenn man mit einem Zeiger der Länge kleiner als 1 beginnt.
Endet der Zeiger genau auf der Linie des Einheitskreises, so ist auch dessen Spiegelbild mit ihm identisch. Alle Endpunkte auf der Kreislinie ändern sich bei der Spiegelung also nicht.

Den Beweis, dass bei dieser Konstruktion die Längen (r1, r2) der beiden Zeiger in einem umgekehrten Verhältnis stehen (r1 : 1 = 1 : r2), möchte ich gerne zunächst dir überlassen.

(Ich logge jetzt mal aus, weiter kann es morgen gehen, falls noch Fragen bestehen)

GN8!

mY+

06.12.2011, 14:25

barracuda317

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Ich werde den Beweis bei Gelegenheit nachholen. Dennoch erstmal vielen Dank für die Hilfe.

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