Aufgabe zur Differenzierbarkeit

10.01.2007, 14:57

Thomas21

Aufgabe zur Differenzierbarkeit

Guten Nachmittag

ich sitze gerade davor, folgende Aufgabe zu lösen, aber mir fehlt leider mal wieder jeglicher Ansatz.

Von einer Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei nichts weiter bekannt, als dass die Ungleichung $\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq f(x) \leq x^{2} \end{eqnarray*}$ für alle x gilt. Zeigen Sie, dass diese Funktion im Nullpunkt differnzierbar ist.

Wie geht man da jetzt am besten vor, das einzige was ich mir überlegt habe ist, die Ableitungen zu bilden, also $\begin{eqnarray*} -2x \leq f'(x) \leq 2x \end{eqnarray*}$ und dann an der Stelle x=0 den Grenzwert bilden, aber das kann doch nicht alles gewesen sein?! Hat das vielleicht mit einer Linearen Approximation zu tun in dieser Form: $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+c(x-x_0)+ \phi(x) \end{eqnarray*}$ , ich wüßte aber keinesfalls wie ich das auf eine Ungleichung anwende. Vielen Dank

10.01.2007, 15:17

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zur Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Thomas21
das einzige was ich mir überlegt habe ist, die Ableitungen zu bilden, also $\begin{eqnarray*} -2x \leq f'(x) \leq 2x \end{eqnarray*}$ und dann ...

Das geht so nicht. Du kannst den Ableitungsoperator nicht auf Ungleichungen loslassen!

Versuchs über den Differenzenquotienten.

10.01.2007, 15:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zur Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Thomas21
Wie geht man da jetzt am besten vor, das einzige was ich mir überlegt habe ist, die Ableitungen zu bilden, also $\begin{eqnarray*} -2x \leq f'(x) \leq 2x \end{eqnarray*}$ und dann an der Stelle x=0 den Grenzwert bilden, aber das kann doch nicht alles gewesen sein?!

Vorsicht! Aus f(x) <= g(x) folgt nicht f'(x) <= g'(x)

Zitat:

Original von Thomas21
Hat das vielleicht mit einer Linearen Approximation zu tun in dieser Form: $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+c(x-x_0)+ \phi(x) \end{eqnarray*}$ , ich wüßte aber keinesfalls wie ich das auf eine Ungleichung anwende. Vielen Dank

Schon eher. Wie man leicht sieht, ist f(0)=0.
Ich setze c=0 und phi(x) = f(x). Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(0)+ c \cdot (x-0)+ \phi(x) \end{eqnarray*}$

Wenn du noch zeigst, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{\phi(x)}{x} = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann sind die Bedingungen für die Differenzierbarkeit erfüllt.

10.01.2007, 19:17

Thomas21

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry klarsoweit,

aber ich kann dir in deiner Argumentation nicht ganz folgen! Wozu hilft mir bei der linearen Approximation überhaupt die Ungleichung, die gegeben ist? Kannst du das etwas ausführlicher sagen, bitte.

11.01.2007, 09:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zur Differenzierbarkeit
Es hängt stark davon ab, wie ihr Differenzierbarkeit definiert habt. Neben der Geschichte mit dem Differenzenquotienten gibt es auch folgende Definition:

Eine Funktion f ist in x_0 differenzierbar, wenn es eine Konstante c und eine Funktion phi(x) gibt mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}~\frac{\phi(x)}{x - x_0} = 0 \end{eqnarray*}$ , so daß gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+c(x-x_0)+ \phi(x) \end{eqnarray*}$

Wir sollten uns also erstmal auf die Definition einigen, die du verwenden möchtest.

11.01.2007, 14:05

Thomas21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

also wir haben soweit ich das sehen kann beide eingeführt. Ich kenne sowohl die mit Phi(x) als auch den Differenzenquotienten. Genau diese mit Phi(x) hat ja mit der linearen Approximation zu tun, ich weiß leider nur nicht in welchem Zusammenhang dies mit der Ungleichung stehen soll. danke

11.01.2007, 14:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zur Differenzierbarkeit
Also du willst doch die Differenzierbarkeit an der Stelle x_0=0 zeigen. Dazu mußt du eine Konstante c und eine Funktion phi finden, so daß
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(0)+c(x-0) + \phi(x) \end{eqnarray*}$
gilt und obendrein noch
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{\phi(x)}{x - 0} = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wie man wegen der Ungleichung leicht sieht, ist f(0)=0. Wenn ich c=0 und phi(x) = f(x) wähle, dann ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} f(x)=f(0)+c(x-0) + \phi(x) \end{eqnarray*}$ erfüllt. Es wäre also nur noch zu zeigen, daß gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{\phi(x)}{x - 0} = \lim_{x \to 0}~\frac{f(x)}{x} = 0 \end{eqnarray*}$
Und dazu kannst du die Ungleichung gut verwenden.

11.01.2007, 17:47

Thomas21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich bin es nochmal, also das f(x_0)=0 sein muss, das leuchtet mir noch ein, weil das hängt ja mit der Stetigkeit zusammen. Wir haben nämlich in einem unserer Sätze bewiesen, dass aus der Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle x0 automatisch die Stetigkeit in diesem Punkt folgt. Die Umkehrung gilt natürlich nicht.

Allerdings macht mir das c= 0 zu schaffen, kann man das einfach so definieren?

Zu den Grenzwerten habe ich mir nun folgendes überlegt. Wenn man das c=0 anscheinend schon so wählen kann, dann kann ich doch mein Phi(x) auch definieren oder? Also habe ich mir das so gedacht:

$\begin{eqnarray*} \phi(x)= x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} }{x} = 0 \end{eqnarray*}$

und analog:

$\begin{eqnarray*} \phi(x)= -x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-x^{2} }{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber damit ist doch nur die Stetigkeit in diesem Punkt gezeigt und nicht die Differenzierbarkeit, oder?

11.01.2007, 23:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zur Differenzierbarkeit
Ich sehe, du hast das ganze noch nicht wirklich verinnerlicht. f(x_0) hätte im Grunde irgendwas sein können. Aber wegen $\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq f(x) \leq x^{2} \end{eqnarray*}$ folgt sofort f(0)=0, wenn du da mal x=0 einsetzst.

Wenn du c=0 und phi(x)=x² wählst, dann ist
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(0)+c \cdot x + \phi(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

Damit hättest du die Funktion f auf die Funktion f(x)=x² festgelegt. Das ist aber so nicht richtig. Das einzige, was wir von der Funktion f wissen, ist eben die Ungleichung $\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq f(x) \leq x^{2} \end{eqnarray*}$ .

Du mußt schon (und da wiederhole ich mich) c=0 und phi(x) = f(x) wählen und (da wiederhole ich mich wiederum) mit Hilfe der Ungleichung $\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq f(x) \leq x^{2} \end{eqnarray*}$ zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\phi(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist im Grunde so trivial, daß ich mich nach wie vor weigere, diesen Schritt hier hinzuschreiben.

EDIT: Korrektur: es muß heißen: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{\phi(x)}{x}=0 \end{eqnarray*}$
Nach 22 Uhr sollte ich nichts mehr im Matheboard machen. Hammer

12.01.2007, 10:09

Thomas21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also jetzt habe ich das ganze wirklich gut verinnerlicht, und kann die Punkte, die ich bisher nicht nachvollziehen konnte, verstehen. Aber dieser letzte Schritt, der mir nun noch fehlt die Aufgabe zu lösen, ist mir nach wie vor nicht klar. Ich glaub es dir gerne, dass es sehr trivial ist, aber mein Kopfzerbrechen über diese Aufgabe bringt mich anscheinend nicht weiter. Aber lasse mich bitte noch etwas überlegen, hättest du vielleicht noch ein kleines Stichwort, dass in diesem Zusammenhang helfen könnte, vielleicht komme ich ja dann drauf.

12.01.2007, 10:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zur Differenzierbarkeit
Wir betrachten den Fall x >0:
Dividiere in der Ungleichung $\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq f(x) \leq x^{2} \end{eqnarray*}$ durch x.

Was kann man dann für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{\phi(x)}{x}=\lim_{x \to 0}~\frac{f(x)}{x} \end{eqnarray*}$ sagen?

12.01.2007, 14:51

Thomas21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dann gilt also:
$\begin{eqnarray*} -x \leq \frac{f(x)}{x} \leq x \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun allgemein den lim auf diese Gleichung anwende, stimmt der linke und der rechte Grenzwert überein, also muss auch der Grenzwert für f(x)/x = 0 sein!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} -x \leq \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \leq \lim_{x \to 0} x \end{eqnarray*}$

Das muss man für den Fall x<0 auch noch machen und das war es doch dann oder fehlt nun immer noch was zu diesem Beweis?

Die Sache mit dem Dividieren durch x, hatte ich schon im Hinterkopf, aber ich habe es einfach nicht gecheckt, mann mann mann! unglücklich

12.01.2007, 15:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Thomas21
Das muss man für den Fall x<0 auch noch machen und das war es doch dann oder fehlt nun immer noch was zu diesem Beweis?

Genau. Beim Dividieren der Ungleichung durch x muß man in diesem Fall etwas aufpassen. Und das war es dann. Augenzwinkern

12.01.2007, 15:08

Thomas21

Auf diesen Beitrag antworten »

Reicht es dann, dass genau so aufzuschreiben wie wir es hier haben, weil recht viel mehr gibt es ja nun wirklich nicht mehr zu sagen.
Mir ist aufgefallen, dass man die lineare Approximation nicht zwingend braucht oder? Man hätte doch gleich den Differentialquotient nachdem man durch x geteilt hat bilden können.

12.01.2007, 15:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Thomas21
Reicht es dann, dass genau so aufzuschreiben wie wir es hier haben, weil recht viel mehr gibt es ja nun wirklich nicht mehr zu sagen.

Ja.

Zitat:

Original von Thomas21
Mir ist aufgefallen, dass man die lineare Approximation nicht zwingend braucht oder? Man hätte doch gleich den Differentialquotient nachdem man durch x geteilt hat bilden können.

Man hätte es auch über den Differentialquotienten machen können. Deswegen hatte ich ja auch eingangs gefragt, welche Definition der Ableitung hier zugrunde gelegt wird oder werden soll. Ich bin dann mal von der Definition mit der linearen Approximation ausgegangen.

Neue Frage »

Antworten »

Aufgabe zur Differenzierbarkeit

Verwandte Themen