Stetigkeit beweisen

03.12.2011, 21:52	Mathestokel	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit beweisen Hallo, ich verzweifle momentan an dieser Aufgabe und hoffe das ihr mir weiter helfen könnnt. Sei $\begin{eqnarray} D\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ und seien $\begin{eqnarray} f_{n}: D\Rightarrow \mathbb R , n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ stetige Funktionen. a) Beweisen sie dass für jede $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} h_{n} : D \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} h_{n}(x):= max\left\{ f_{1}(x),...,f_{n}(x)\right\} \end{eqnarray}$ stetig ist. b) Vorausgesetzt die Menge $\begin{eqnarray} \left\{ f_{n}(x) : n\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ ist für jedes $\begin{eqnarray} x\in D \end{eqnarray}$ nach oben beschränkt. Ist dann auch die Funktion $\begin{eqnarray} h: D\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} h(x):=sup\left\{f_{n}(x) : n\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ stetig? (Beweis oder Gegenbeispiel) Meine Ansätze: a) Ich weis, dass ist ein Epsilon-Delta-Beweis machen muss und dass die Epsilons und Deltas von n abhängig sind. Ich weis eigentlich wie so ein Beweis funktioniert, kann es aber nicht auf diesen Fall anwenden. b) Ich weis, dass ich nach einem Gegenbeispiel suchen muss. Aber da ich a) nicht verstanden habe, fällt es mir hier auch schwer weiterzukommen. Bin für jeden Tipp oder Ansatz sehr dankbar. Viele Grüße Darren
03.12.2011, 22:12	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei a) würde ich Induktion benutzen und, dass $\begin{eqnarray} \max\{a,b\}=\frac{a+b+\mid a-b\mid}{2} \end{eqnarray}$ Und zur b) kann man mal $\begin{eqnarray} f_n(x):[0,1]\rightarrow \mathbb{R}; x\mapsto \frac{1}{1+x^n} \end{eqnarray}$ anschauen. Oder noch einfacher: $\begin{eqnarray} f_n(x)=-x^n \end{eqnarray}$ wieder für $\begin{eqnarray} x\in [0,1] \end{eqnarray}$ . Die Idee ist eine monoton steigende Folge von Funktionen, die gegen was unstetiges konvergiert.
03.12.2011, 22:12	ray.montag	Auf diesen Beitrag antworten »
Hätte ein Gegenbeispiel für b): $\begin{eqnarray} f(x):=\sqrt[n]x,0\leq x\leq 1,D\in \{0,1\} \end{eqnarray}$
04.12.2011, 22:28	ray.montag	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Gegenbsp. ist natürlich Quatsch, aber dank an Ungewiss!
04.12.2011, 22:47	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist denn dein Ggnbsp quatsch? Ich finds eigtl recht gut, nur ein bisschen sonderbar was das D soll.

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