Grenzwertbestimmung

Neue Frage »

03.12.2011, 22:29	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbestimmung Meine Frage: Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert $\begin{eqnarray} a) \lim_{x \to 0} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ Der Pfeil geht eigentlich senkrecht nach unten $\begin{eqnarray} b) \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c) \lim_{x \to 2} \frac{3^{x^3}-24}{x-2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a) Ich glaube zumindestens zu sehen, dass der Grenzwert ist 0. Für immer kleiner werdende Werte x wird mein Folgeglied ja auch immer kleiner. Jetzt müsste ich das noch irgendwie umformen, damit man es richtig "sehen" kann, oder irr ich ? Bisher habe ich die Folge immer mit "geschickten" 1sen multipliziert. $\begin{eqnarray} \frac{ \sqrt{x}}{ \sqrt{x}} \end{eqnarray}$ So etwas zum Beispiel, aber irgendwie komme ich damit nicht weiter.. b) Durch einsetzen der Werte für x vermute ich den Grenzwert 0. Beim Umformen haperts aber auch hier. Ich weiß schlicht und ergreifend nicht, wie ich $\begin{eqnarray} e^{x^2} \end{eqnarray}$ wegbekommen soll. c) Hier bin ich jetzt vollends verwirrt. Wenn ich $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ betrachte, würde ich meinen, es konvergiert für (x gegen 2) gegen 8 daher also $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} 3x^3 - 24 = 0 \end{eqnarray}$ Allerdings würde nach dem selben Schema mein Nenner Null ergeben .. Außerdem (ich weiß Taschenrechner in die Ecke ..) ergibt sich mit dem Taschenrechner der Grenzwert 36, was ich so gar nicht nachvollziehen kann. Ich weiß, dass ist jetzt nicht so sonderlich viel, was ich schon zur Lösung beitragen konnte, wäre für Hilfe aber trotzdem dankbar.
03.12.2011, 23:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
c) Du kannst 3 ausklammern, und dann eine binomische Formel anwenden. Dadurch kann durch (x - 2) gekürzt werden. Hinweis: Ausdrücke wie 0/0 (dies ergibt sich ja auch bei Aufgabe b) müssen umgeformt werden, denn so etwas ist eine unbestimmte Form, deren Grenzwert nicht angegeben werden kann. mY+
03.12.2011, 23:36	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
c) (Erstmal sorry, das in der Aufgabenstellung nicht $\begin{eqnarray} 3x^2 \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} 3^{x^2} \end{eqnarray}$ steht, ich kann das grade nicht mehr editieren.) Das Stimmt, ich hatte alles mögliche ausgeklammert, aber sowas seh ich wieder nicht .. Also $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} \frac{3x^3-24}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{3(x^3-8)}{x-2} = \lim_{x \to 2}{3(x^2-4)} =3(4-4) = 0 \end{eqnarray}$ Dann darf ich einfach meine "Grenze" (also den höchsten möglichen Wert für x) einfach einsetzen ? Ja, das mit den unbestimmten Aussagen hatte ich auch schon etwas gelesen, leider häng ich ja gerade am umformen. Aber vielen Danke fürdie Hilfe bei c).
03.12.2011, 23:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast falsch gekürzt. So darf man auf gar keinen Fall dividieren! Ich sagte dir ja: Binomische Formel! --> $\begin{eqnarray} a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \end{eqnarray}$ Das Ergebnis nach dem Kürzen ist daher $\begin{eqnarray} 3(x^2 + 2x + 4) \end{eqnarray}$ und wenn du dort x = 2 einsetzt (ja, das darf man, die Grenze einsetzen!), ergibt sich 3(4 + 4 + 4) = 36 _____________ Zu b) Ersetze im Zähler $\begin{eqnarray} e^{x^2} \end{eqnarray}$ durch die entsprechende Potenzreihe. Dann lässt sich 1 reduzieren und dann der Bruch durch x² kürzen und du bekommst einen endlichen Grenzwert (1). Zu a) Der Grenzwert ist 0, das stimmt. mY+
04.12.2011, 00:13	Flori1990	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry wenn ich mich hier einmisch ... aber kann man nicht die regeln von lhospital benutzen um grenzwerte auszurechnen ? ich meine jetzt speziell bei der b ... weils ja 0/0 ist
04.12.2011, 00:26	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
.. ohh, stimmt. ^^ Danke, c) leuchtet mir jetzt ein. zu a) da muss ich auch nicht weiter umformen, ja? Das kann man so stehen lassen? b) Potenzreihe.. Ich weiß (oder ich glaube zu wissen), das gilt $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } (1 + \frac{1}{x} )^x = e \end{eqnarray}$ Ist das gemeint? Aber irgendwie vermiss ich jetzt meine Potenz von e ... $\begin{eqnarray} e^{x^2} \end{eqnarray}$
Anzeige

04.12.2011, 00:45	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Flori1990: Lhospital habe ich auch im netz gefunden, aber eben nur im Internet,.. Das hatte ich in der Vorlseung noch nicht, darf es deswegen auch nicht verwenden, es sei denn ich beweise alles eigenständig.. und da sübersteigt dann doch mein Können ..
04.12.2011, 01:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^x = 1+ x + \frac{x^2}{2!} + \ldots \end{eqnarray}$ Nun ersetze x duch x² ... mY+
04.12.2011, 01:28	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoffe, das stimmt jetzt so. $\begin{eqnarray} e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \frac{x^8}{4!}+ ... + \end{eqnarray}$ Aber was sagt mir das ? Also vielleicht ja so.. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{x^2} =\lim_{x \to 0}\frac{1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \frac{x^8}{4!}+ ... +\frac{x^{2n}}{n!} \ -1}{x^2} = \lim_{x \to 0} {\frac{1}{x^2}} + 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+ ... +\frac{x^{2n}}{n!} = e \end{eqnarray}$ Wenn das richtig ist, hätte ich es tatsächlich verstanden, aber meistens wenn ich das sage, ist es völlig daneben gegriffen. ^^
04.12.2011, 01:37	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh falsch.. die Summe ist $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ und der Grnezwert daher 1 !
04.12.2011, 02:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja! Zuerst war dein Fehler nur, dass du - vor der Division - die 1 ganz vorne nicht mit der -1 ganz hinten zu 0 addiert hast. Also 1/x² gehört dort nicht mehr hin. Dann bleibt nach der Division nur noch eine 1 stehen, alle anderen x-Glieder werden zu Null, weil x gegen Null geht. mY+
04.12.2011, 02:21	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, stimmt, die 1, die hatte ich sogar ganz vergessen. Super danke.. Und nur ne kleine Frage zu a) Darf ich einfach $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \sqrt{x} = \sqrt{0} = 0 \end{eqnarray}$ schreiben? Das kommt mir so "leicht" vor ..^^ Danke schon mal.
04.12.2011, 03:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, eigentlich nicht, da hast du Recht. Denn die Wurzel bzw. Potenzfunktion ist nur für Basen größer als Null definiert. Mhhm. Das müssen wir irgendwie umschreiben. Wir setzen $\begin{eqnarray} x = \frac 1 y \end{eqnarray}$ . Dann bedeutet $\begin{eqnarray} x \to 0 \end{eqnarray}$ nichts anderes als $\begin{eqnarray} y \to \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \sqrt{x} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac 1 y} = \lim_{x \to \infty} \frac 1 {\sqrt y} \end{eqnarray}$ Jetzt ist klar, dass der Grenzwert Null sein muss, weil der Nenner über alle Grenzen geht. mY+
04.12.2011, 11:06	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, super danke, das leuchtet mir auch ein. Ein mathematischer Lichtblick Daaanke.^^

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwertbestimmung

Verwandte Themen