Drei Vektoren (im 3d-Raum) in einer Ebene

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plop Auf diesen Beitrag antworten »
Drei Vektoren (im 3d-Raum) in einer Ebene
Hallo,

ich habe hier eine Übungsklausur mit Musterlösungen, die ich nicht verstehe. Das meiste von meinem Geschreibsel wird sich vermutlich in Wohlgefallen auflösen, die wichtigste und unerschlüssigste Frage habe ich unten fett markiert.

"1.: Gegeben seien 3 Vektore a = (1,1,2), b = (-2,3,-2), c = (1,2,3). Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene P, welche diese Vektore als Elemente enthaelt."

Als Ergebnis wird hier eine 3-Vektorform-Beschreibung einer Ebene angegeben, in der a - b und a - c als Richtungsvektoren auftreten. Hier bin ich nun schon etwas verwirrt. Die 3 Vektoren müssen also bewusst so gewählt worden sein, dass sie in der selben Ebene liegen?! Wie sieht denn die einfachste Prüfung aus, ob z.B. c in der gleichen Ebene liegt wie a und b?

Dann wird der Normalenvektor zur Ebene - (6,3,-3) gebildet. Hier verstehe ich nicht, warum das Skalarprodukt von a, b und c mit dem Normalenvektor jeweils nicht 0 ist. Wenn a, b und c in der selben Ebene liegen, dann muss doch das Skalarprodukt der Vektoren mit dem Normalenvektor 0 ergeben?

Irgendwie drängt sich mir der Eindruck auf, dass hier gar keine a, b und c enthaltende Ebene gebildet wurde, sondern eine Ebene, die von den Vektoren geschnitten wird, aber sie nicht enthält?

Dazu passt auch die nächste Frage:

"Sei nun ferner der Vektor x = (3,3,3) gegeben. Untersuchen Sie, ob x Element von Ebene P ist.

Lösung: Falls x Element von P gilt, müsste gelten: (3,3,3) * (6,3,-3) = 3."

Hier bin ich nun völlig ausgestiegen. Wo kommt die 3 als Ergebnis her?
Muss das Skalarprodukt des geprüften Vektors und des Ebenennormalenvektors nicht wieder 0 ergeben, falls der Vektor in besagter Ebene liegt?

Hier merke ich just in diesem Moment selber schon, dass Skalarprodukt = 0 nicht ausreicht, denn ein Vektor, der parallel zu der Ebene verläuft, aber nicht darauf liegt, würde nach dieser Definition ja auch eine Skalarprodukt von 0 liefern.

Dann verstehe ich aber trotzdem nicht, wo das Kriterium aus dem Beispiel her kommt?

Vielen Dank für eure Zeit!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein "Problem" ist, dass die 3 gegeben Vektoren NICHT in der Ebene liegen, weil sie nur Ortsvektoren zu PUNKTEN in dieser Ebene sind. Erst die Differenzvektoren a - b und a - c liegen IN der Ebene und du kannst dann sicher sein, dass deren Skalarprodukt mit dem Normalvektor Null ist.

Ausserdem unterliegst du einem Irrtum, wenn du meinst, dass das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren gleich Null ist. Das ist überhaupt nicht der Fall.

mY+
plop Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos,

vielen Dank für deine Antwort erstmal!

Ich hatte die Sache so aufgefasst, dass die Vektoren komplett in der Ebene liegen, anstatt nur auf Punkte in der Ebene zu zeigen. Daher ging ich davon aus, dass diese in der Ebene liegenden Vektoren dann ja mit dem Normalenvektor der Ebene ein Skalarprodukt von 0 ergeben müssten, da sie dann ja senkrecht dazu wären.

Ist die Terminologie in den Übungsaufgaben Standard, zu sagen, der Vektor sei "Element der Ebene" wenn nur der davon beschrieben Punkt in der Ebene liegt?

Kannst du bitte trotzdem noch kurz auf folgendes eingehen:


""Sei nun ferner der Vektor x = (3,3,3) gegeben. Untersuchen Sie, ob x Element von Ebene P ist.
Lösung: Falls x Element von P gilt, müsste gelten: (3,3,3) * (6,3,-3) = 3.""


6,6,-3 ist hier wie gesagt der Normalenvektor der Ebene. Woher kommt hier die 3 im Ergebnis?

Danke!!!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von plop
...
Ist die Terminologie in den Übungsaufgaben Standard, zu sagen, der Vektor sei "Element der Ebene" wenn nur der davon beschrieben Punkt in der Ebene liegt?
...

Nein. Dann heisst es einfach, der Punkt liegt in der Ebene. Zu diesem geht dann ein vom Nullpunkt ausgehender Ortsvektor, der dieselben Koordinaten hat, wie der Punkt selbst. Dieser Ortsvektor ist im Allgemeinen kein Bestandteil der Ebene (liegt nicht in ihr), es sei denn, die Ebene geht zufällig durch den Nullpunkt.

Ein Vektor der Ebene allein, wenn kein Ausgangspunkt angegeben ist, kann genau genommen überall liegen, nicht nur in der Ebene, sondern in jeder zu dieser Ebene parallelen Ebene. Denn er ist nur ein Repräsentant aller parallelen, gleich langen und gleich orientierten Pfeile.
__________________________

Die Koordinatengleichung der Ebene ist identisch mit der Normalvektorform. Diese lautet









---------------

Bei der skalaren Multiplikation mit der Klammer erhält man - infolge des Distributivgesetzes - zwei skalare Produkte. Im ersten finden sich die allgemeinen (laufenden) Koordinaten aller Punkte der Ebene, das zweite ergibt jedoch eine Konstante c, welche von den Koordinaten des Normalvektors und jenen eines beliebigen Punktes (Stützpunktes) der Ebene abhängt. Hervorzuheben ist, dass diese Konstante (c) für alle Punkte, die in der Ebene liegen, den gleichen Wert c hat. In deinem Beispiel ist dies die "berühmte" 3. Was dort geschehen ist, ist einfach eine Punktprobe, d.h. die Koordinaten des Punktes wurden in die Ebenengleichung eingesetzt und nachgesehen, ob sich daraus eine Identität ergibt.

---------------

Bemerkung: Der Normalvektor der Ebene kann und soll möglichst abgekürzt werden, um unnötig hohe Zahlen zu vermeiden. Dies entspricht auch dem Kürzen der Ebenengleichung durch einen gemeinsamen Faktor. So ist zwar (6; 3; -3) ein Normalvektor der Ebene, jedoch ist dies der durch 3 dividierte Vektor (2; 1; -1) ebenso. Wir werden daher mit diesem rechnen.

Umgelegt auf das Beispiel ist, mit dem Punkt A



bzw.





Das Gleiche hätten wir auch mit dem Punkt B oder C erhalten. Die 1 rechts muss sich für jeden Punkt, der in der Ebene liegt, gleichermaßen ergeben!

Nun versuchen wir dies mit dem gegebenen Punkt (3; 3; 3). Sofort sehen wir, dass sich beim Einsetzen dessen Koordinaten in nicht 1 ergibt, genauso wenig, wie beim Einsetzen in deine Gleichung mit dem Normalvektor (6; 3; -3) der Wert 3 herauskommt.

mY+
plop Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos,

vielen lieben Dank nochmal für deine sehr ausführliche und verständliche Erklärung!

Ich denke, dass ich in der Klausur 15 Punkte geschrieben habe, und deine Ausführungen haben nicht unwesentlich dazu beigetragen.

Viele Grüße,
plop
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