Divergenz einer Reihe zeigen

04.12.2011, 09:09

KnowingLizard

Divergenz einer Reihe zeigen

Also, mir geht es um folgende Reihe, die, wie man eigentlich erkennt, für alle Werte von x außer x = 1 divergent ist.
Die einfachen Kriterien à la Quotientenkriterium o.ä. haben zumindest mir nicht weitergeholfen. Hier nun erstmal die Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\sqrt[n]{x} - 1), x>0 \end{eqnarray*}$
Für x = 1 werden natürlich nur Nullen aufsummiert, d.h. dafür ist die Reihe konvergent.

Für alle anderen x-Werte (für die die Reihe ja divergent ist), habe ich einen Ansatz zur Umformung, der mir irgendwie sinnvoll erscheint, aber irgendwie hilft er mir nicht wirklich weiter, bin glaube ich bei Reihen noch zu ungeübt.

Ich kann ja folgende Identität nutzen:
$\begin{eqnarray*} a^n - b^n = (a - b) * (a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2+\dots+ab^{n-2} + b^{n-1}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun für a meine n-te Wurzel von x und für b eins einsetze und nach (a-b) umstelle und die Potenzen etwas anders hinschreibe, komme ich, falls richtig, auf:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} - 1 = \frac{x-1}{x^{1-\frac{1}{n}}+x^{1-\frac{2}{n}}+x^{1-\frac{3}{n}}+\dots+x^{\frac{1}{n}}+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt irgendwie für meine beiden Fälle (x > 0 / x < 0) auf z.B. eine harmonische Reihe zurückführen könnte, hätte ich ja gewonnen, aber irgendwie bin ich etwas ratlos.
Hoffentlich kann mir jemand helfen.

Das, was ich da vielleicht noch zu erkennen glaube, ist, dass im Limes für n gegen unendlich unter dem Bruchstrich praktisch (n-2)*x+2 steht (so in etwa zumindest).

04.12.2011, 11:44

tmo

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Setzte mal $\begin{eqnarray*} h_n := \sqrt[n]{x}-1 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} x = (1+h_n)^n \geq 1+nh_n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} h_n \leq \frac{x-1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Das sieht nicht vielversprechend aus, da wir in die falsche Richtung abgeschätzt haben, bringt uns aber für x < 1 sofort zum Ziel.
Da $\begin{eqnarray*} h_n \end{eqnarray*}$ Nullfolge ist, ist die Abschätzung mit Bernoulli auch in der Tat für x < 1 so ok.

Nun versuche mal die Divergenz für x > 1 auf die für x < 1 zurückzuführen.

04.12.2011, 11:55

Ungewiss

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Für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^k} <x \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^k} <1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq k < n \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du den Nenner abschätzen, im zweiten Fall achte auf das Vorzeichen.
Siehe z.B Für welche Werte von x konvergiert diese Reihe?

04.12.2011, 13:42

KnowingLizard

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Zitat:

Original von Ungewiss
Für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^k} <x \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^k} <1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq k < n \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du den Nenner abschätzen, im zweiten Fall achte auf das Vorzeichen.
Siehe z.B Für welche Werte von x konvergiert diese Reihe?

Dein Beitrag von dort:

Zitat:

Hey es ist
$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{1}\right|=\left |\frac{(x-1)}{\sum_{k=0}^{n-1}(\sqrt[n]{x})^{k}}\right|\geq\begin{cases}\left|\frac{x-1}{n}\right| & \text{ für } x<1 \\ \left|\frac{x-1}{nx}\right|= (1-\frac1x)\frac1n &\text{für } x>1\end{cases} \end{eqnarray*}$

ist ja letztlich derselbe Ansatz wie der von mir oben, oder? Die Summe unterm Bruch müsste ja dem entsprechen, was ich oben unter dem Bruch geschrieben hatte, oder nicht?.
Jetzt aber zu den Abschätzungen, habe ich nun richtig verstanden, warum ich diese so machen darf?:
Also, für x<1 (die obere Abschätzung) habe ich unter dem Bruch ja n Summanden die kleiner gleich 1 sind, d.h. die Summe ist kleiner gleich (n * 1), somit ist der gesamte Bruch (alles in Beträgen gedacht) größer als der Bruch, wenn ich die Summe durch n ersetze. Ist die Denkweise so richtig? Augenzwinkern

Wenn ja, dann weiter zur zweiten Abschätzung:
Da habe ich nun in der Summe unter dem Bruchstrich n Summanden, die größer gleich eins sind (da für x>1 die n-te Wurzel von x insgesamt hoch k immer größer als 1 ist), aber, wie man mit der Schreibweise, die ich in meinem ersten Post oben verwendet habe, gut sieht (falls diese stimmt, tut sie das denn?), nicht nur größer gleich eins sondern auch kleiner als x sind. D.h. wenn ich die Summe durch n * x ersetze, dann wird der Nenner dadurch größer, der Bruch also kleiner. Dadurch ergibt sich dann die zweite Abschätzung, oder nicht? smile

Wenn ja, dann meine Idee, wie ich darauf aufbauen kann:

Fall 1, x<1:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x-1}{n}\right| = -\frac{x-1}{n} = (1-x)*\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Für die Summe ergibt sich damit:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ((1-x)*\frac{1}{n})=(1-x)*\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ . Das ist divergent, da (1-x)>0 und da die Reihe dahinter (die harmonische Reihe) divergent ist. Und diese abgeschätzte Reihe hier ist eine divergente Minorante bzgl. der ursprünglichen Reihe, somit ist diese auch divergent für x<1, oder? smile

Fall 2, x>1:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x-1}{nx}\right|= (1-\frac1x)\frac1n \end{eqnarray*}$
und damit für die Reihe:
$\begin{eqnarray*} (1-\frac1x)*\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$
Und die ist wieder divergent, da die harmonische Reihe divergent ist und (1-1/x) > 0 für x>1 ist. D.h. diese abgeschätzte Reihe ist eine divergente Minorante für die ursprüngliche Reihe, die damit für x>1 divergent ist.

Fall 3: x=1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\sqrt[n]{1} - 1) = \sum\limits_{n=1}^\infty (0)=0 \end{eqnarray*}$
d.h. konvergent.

Kommt das so hin? Vielen Dank für die Mühe auf jeden Fall schon mal Freude

04.12.2011, 13:49

Ungewiss

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Hey, ja da hatten wir die gleiche Idee smile

In Fall 1 müsste stehen, da (1-x)>0, sonst ist mir nichts aufgefallen. Man spart sich die überlegungen mit den Vorzeichen, wenn man die Beträge einfach stehen lässt, da die Summanden immer gleiches Vorzeichen aufweisen, verliert man dadurch nichts, dh, entweder die Reihe konvergiert absolut, oder garnicht.

04.12.2011, 13:56

KnowingLizard

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Zitat:

Original von Ungewiss
Hey, ja da hatten wir die gleiche Idee smile

Hmm okay, cool, den Tippfehler hab ich jetzt auch noch schnell korrigiert smile

Ich hatte halt das mit dem Vorzeichen so gelöst, damit ich das so schön auseinander ziehen kann und dann wirklich eine positive Zahl * die harmonische Reihe dastehen habe Augenzwinkern

Aber ich könnte ja dann wohl auch einfach den Zähler mit Betragsstrichen nach vorne ziehen, oder nicht, also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty ((\left|x-1\right|)*\frac{1}{n})=\left|x-1\right|*\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ . n ist ja ohnehin nicht negativ.

Vielen, vielen Dank jedenfalls Freude

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