Fluss eines Vektorfeldes durch Kegeloberfläche

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Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
Fluss eines Vektorfeldes durch Kegeloberfläche
Hallo,
ich habe ein Vektorfeld gegeben und gesucht ist der Fluss durch die Oberfläche des Kegels
einmal mit und einmal ohne den Satz von Gauß.

Beginnen wir mit dem Satz von Gauß: Dann muss ich wohl irgendwie über integrieren, oder?
Die Integrationsgrenzen ergeben sich doch durch den Kegel... aber wie? Die Grenzen für z sind ja klar, aber die anderen?
Und überhaupt: Wenn ich zuerst die 2 über z integriere und einsetze bleibt ja übrig:

Soll das stimmen? Denn da sieht man ja nicht so fix, was da rauskommen soll...

Danke schonmal
und viele Grüße!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Das stimmt soweit.

Tipp: In Polarkoordinaten ist . Auch für die Bestimmung der Grenzen eignen sich Polar- bzw. dann eigentlich Zylinderkoordinaten am besten.

smile
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso eigentlich Zylinderkoordinaten? Es geht doch um einen Kegel?!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ein Kegel eine Symmetrie hat, welche Zylinderkoordinaten geeignet macht (er ist rotationssymmetrisch um die z-Achse). Das führt dann dazu, dass die Integrale besonders einfach aussehen.

Natürlich ist man in der Wahl der Koordinaten immer frei und welche man nimmt, ist grösstenteils Erfahrungssache, bzw. man muss ein bisschen rumprobieren. Im wesentlichen sind die Kandidaten im 3-dimensionalen immer: kartesische (also normale) Koordinaten, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... der Unterschied zum Zylinder ist, dass mein Radius r nicht konstant ist, oder? Über den muss ich dann integrieren? Von 0 bis unendlich?

Aber nochmal von vorn: Divergenz 2, bleibt das erstmal oder muss ich ganz vorn mit der Koordinatentransformation beginnen?

Edit: Ach nee, r muss kleiner 2 sein...
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Also mal angenommen, die Divergenz ist 2:

? Mit z läuft von 0 bis 2-r, r von 0 bis 2 und von 0 bis ?
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also mal angenommen, die Divergenz ist 2:


Ja. Die Divergenz ist Koordinatenunabhängig. D.h. wenn da z.B. rausgekommen wäre



dann müsstest du lediglich setzen, um die Divergenz in Zylinderkoordinaten zu bekommen.

Deine Grenzen stimmen auch.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, ich hab dann als Ergebnis ...

Und jetzt das Ganze nochmal ohne Gauß... ich weiß nicht. In der Definition zum Fluss hatten wir:
Fluss (in Richtung Normale) = ,
mit M Untermannigfaltigkeit, als normierte Normale und dem Vektorfeld

Ginge das? Und wie komm ich an die Normale?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ginge das? Und wie komm ich an die Normale?


Kannst du den Normalenvektor bei , i.e. der Grundfläche, angeben (nicht so schwer)?

Ganz allgemein macht man das so, dass man die Fläche parametrisiert mit zwei Variablen, z.B. durch eine Funktion



und dann ist der Normalenvektor gegeben durch



wobei das Vorzeichen so zu wählen ist, dass es aus dem (Voll-)Zylinder herauszeigt.

Was wäre bei dir eine passende Parametrisierung?
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Kannst du den Normalenvektor bei , i.e. der Grundfläche, angeben (nicht so schwer)?

?
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Ganz allgemein macht man das so, dass man die Fläche parametrisiert mit zwei Variablen


Welche Fläche? Die Grundfläche, die Kegelmantelfläche..?
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, Mantelfläche:
,
weil sich r und z ja immer zu 2 ergänzen.
Damit ergibt sich


sag mal was dazu^^
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
?


Nope. Aber vielleicht sollten wir es zuallererst einmal nach Schema A machen (siehe unten).


Zitat:
Zitat:
Original von gonnabphd
Ganz allgemein macht man das so, dass man die Fläche parametrisiert mit zwei Variablen


Welche Fläche? Die Grundfläche, die Kegelmantelfläche..?


Ganz allgemein, wenn man einen Normalenvektor zu einer Fläche bestimmen will. Das könnte insbesondere die Grund- oder Mantelfläche sein.

Zitat:
Also bei der Kegelmantelfläche hab ich jetzt:

(weil Höhe und Radius des Kegels ja immer gleich sind)


Du hast den Kegel auf den Kopf gestellt! Augenzwinkern Der Kegel soll ja bei z=0 am breitesten sein, und bei z=2 die Spitze haben. Davon abgesehen, bekämest du dann



was sehr richtig aussieht. Das Vorzeichen ist übrigens +, weil der Vektor anschaulich gesprochen ein bisschen nach oben (in positive z-Richtung) zeigen muss.

Das gleiche kannst du jetzt auch noch für die Grundfläche machen (du wirst allerdings im Nachhinein vermutlich merken, dass man das auch einfach hätte sehen können)
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Du hast den Kegel auf den Kopf gestellt! Augenzwinkern Der Kegel soll ja bei z=0 am breitesten sein, und bei z=2 die Spitze haben. Davon abgesehen, bekämest du dann



Habs oben schon korrigiert... Aber ich bin ehrlich gesagt der Meinung, dass meine obige Lösung mit -1 als letzte Komponente für den auf den Kopf gestellten Kegel richtig wäre. Denn dann zeigt der Vektor "anschaulich gesprochen" ein bisschen nach unten^^
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, für den falschen Kegel wäre das negative Vorzeichen schon richtig. Bestreitet keiner.

Nun gut. Bleibt noch die Grundfläche.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also hier hab ich (0,0,-1) als Normalenvektor...
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, genau. Freude

Und damit kannst du ja dann F über die Zylinderfläche integrieren.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha... und wie? Muss ich da jetzt das Skalarprodukt von F und Normale bilden? Das ist ja im Fall der Grundfläche -(z+1) und dann soll ich über r von 0 bis 2 und von 0 bis integrieren? Dann bleibt doch ein z drin, das ist doch seltsam?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn der Wert von z auf der Grundfläche?
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

okay...^^ dann hab ich ... stimmt das?
und wie ist es bei der Mantelfläche? Muss ich da das F in Zylinderkoordinaten übertragen? Wenn ja, wird das irgendwie kompliziert...
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht dein Integral denn aus? Ganz einfach wird es schon nicht sein, aber auf der anderen Seite auch nicht schrecklich kompliziert.

Dein Wert für die untere Seite dürfte korrekt sein.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... irgendwas ist falsch, denn es stimmt nicht mit dem aus dem Satz von Gauß berechneten überein:

Ich hab jetzt für die Mantelfläche berechnet
,
dann hab ich mir gedacht, ich müsste noch setzen , also entsprechend der Zylinderkoordinaten...und z bleibt ja z. Dann ergibt sich

Und hier hab ich doch irgendwas falsch gemacht? Wahrscheinlich hab ichs mir zu einfach gemacht beim Parametrisieren von F?!
Jedenfalls kann man das jetzt integrieren nach in den entsprechenden Grenzen und ich komme auf ...

Noch eine anderen Sache: Wenn ich über den Radius r integriere, müsste ich dann die Grenzen von 2 bis 0 setzen? Und dann kommt für die Grundfläche entsrechend heraus und die Mantelfläche ...Aber wie ichs auch dreh, auf komm ich nicht verwirrt

LG
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nochmal... ich krieg hier gleich ne Meise, es funktioniert einfach nicht! unglücklich
Ich schreib das jetzt nochmal fein säuberlich auf:
Grundfläche:
mit der Normalen

Dann haben wir für den Fluss:

Macht man das so? Ich habe wirklich mal alle Rechenwege aufgeschrieben, vor allem auch die ersten, nicht dass ich eigentlich einen falschen Weg nehme, der am Ende zufällig das richtige Ergebnis bringt, wegen der speziellen einfachen Form der Grundfläche... denn wenn ich diesen Weg exakt so bei der Mantelfläche anwende, komme ich auf ... (also vergiss den oberen Post, da hab ich mich wohl verrechnet oder wer weiß...)

Speziell zum oberen Post: Über r muss ich gar nicht integrieren, das ist ja indirekt schon beim z dabei, oder?

Und dann hab ich auf einer Seite (http://vorhilfe.de/forum/Fluss_eines_Vektorfeldes/t653088) etwas gefunden, da wurde das Skalarprodukt vom normierten Normalenvektor mit F noch mit der Länge des Normalenvektors multipliziert... das versteh ich auch gar nicht, wieso normiert sie ihn erst, um die Länge dann wieder dranzumultiplizieren? Naja, damit komm ich aber auch nicht aufs richtige Ergebnis, obwohl ich damit wenigstens nicht diese hätte...
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Und dann hab ich auf einer Seite (http://vorhilfe.de/forum/Fluss_eines_Vektorfeldes/t653088) etwas gefunden, da wurde das Skalarprodukt vom normierten Normalenvektor mit F noch mit der Länge des Normalenvektors multipliziert... das versteh ich auch gar nicht, wieso normiert sie ihn erst, um die Länge dann wieder dranzumultiplizieren?


Ja, das ist dann das Oberflächenelement (das misst im Prinzip die Krümmung/Verzerrung der Fläche).

Und es stimmt tatsächlich, dass man den Normalenvektor nicht unbedingt normieren müsste, nur um ihn dann wieder mit seiner Länge zu multiplizieren (solange du in dem gleichen Koordinatensystem integrierst, in welchem du den Normalenvektor herausfindest - was man normalerweise tut).

Du solltest dann für die Mantelfläche das Oberflächenelement



haben, falls ich mich nicht verrechnet habe.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe!

Liebe Grüße
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