Lineares Wachstum

04.12.2011, 11:49

Steffe2361

Lineares Wachstum

Hi

Ich habe folgende Aufgabe
[attach]22204[/attach]

Meine Ideen:

Nun ja ich habe zuerst den Funktionsgraphen gezeichnet:

[attach]22205[/attach]

Nun weiß ich nicht wie ich genau weiter machen soll. Einzig weiß ich, dass es ein linearer Wachstum ist wenn die Änderungsrate k ist:

Also habe ich einfach mal die Änderungsrate zwischen den ersten 2 gegebenen Punkten ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} B_{21} - B_{14} = k \end{eqnarray*}$

eingesetzt ergibt das:

$\begin{eqnarray*} 68 - 36 = 32 \end{eqnarray*}$

aber wie mache ich jetzt weiter??

Danke euch
mfg

04.12.2011, 15:57

steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Wachstum
hmmm hat hier auch keiner einen plan ?

mfg

04.12.2011, 16:10

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Wachstum
Es gibt Formeln zum Aufstellen linearer Gleichungen, wenn 2 Punkte gegeben sind.

Die Gleichung selber folgt diesem Muster: $\begin{eqnarray*} y = m\cdot x + n \end{eqnarray*}$

Du kannst nun über ein lineares Gleichugnssystem lösen, indem du einfach die Koordinaten zweier Punkte einsetzt und die Variablen m und n berechnest.

smile

edit: Im vorliegenden Fall würde ich vielleicht eher so vorgehen, dass ich das gesamte Wachstum im gegebenen Zeitraum ermitteln würde und durch die Anzahl der Tage teile.
So hast du das tägliche Wachstum ermittelt.
Überlege mal, welche der Variabeln m und n dies wäre.

04.12.2011, 17:06

steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Wachstum
naja

kann ich einfach 2 Gleichungen aufstellen also für die Punkte (14/36) und (21/68)

Somit folgt:
$\begin{eqnarray*} 36 = 14k +d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 68 = 21k + d \end{eqnarray*}$

ich berechne d indem ich die 2 Gleichung mit (-1) multipliziere.

$\begin{eqnarray*} 36 = 14k +d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -68 = -21k - d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -32 = - 7k \rightarrow k= \frac{32}{7} \end{eqnarray*}$

Naja und nun in die erste gleiung eingesetz ergibt:
$\begin{eqnarray*} 36 = 14\frac{32}{7} +d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 36 = 64 +d \rightarrow d= -28 \end{eqnarray*}$

Hast du das so gemeint?
mfg

04.12.2011, 17:10

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Wachstum
Ja, in diese Richtung ging mein Gedanke. Freude

Deine Funktionsgleichung wäre also: $\begin{eqnarray*} y = \frac{32}{7}\cdot x - 28 \end{eqnarray*}$

Vermutlich erhältst du ein etwas genaueres Ergebnis, wenn du den ersten und den letzten Punkt wählst. Augenzwinkern

05.12.2011, 09:11

steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Wachstum
nun gut

aber ist diese gleichung

$\begin{eqnarray*} y = \frac{32}{7}\cdot x - 28 \end{eqnarray*}$

meine gesuchte differentialgleichung, bzw wenn ja wie soll ich diese lösen?

mfg
PS wäre die mittlerer Steigung $\begin{eqnarray*} k = \frac{32}{7} \end{eqnarray*}$

verwirrt

05.12.2011, 09:18

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Wachstum
Nein, die mittlere Steigung ist etwas größer. Wenn du dir die Längenzuwächse anschaust, hast du 32, 30, 33, 39 und 36 cm pro Woche. Augenzwinkern

Ich hatte schon gesagt, wie die Werte genauer ermittelt werden können. Übrigens ist auch der Wert für d ein anderer, wenn du über den gesamten Zeitraum rechnest.
smile

05.12.2011, 12:10

Steffen2361

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Wachstum
Könnte ich mir dann nicht einfach die werte herausnehmen (so wie du es getan hast) und davon einfach den Durchschnitt berechnen:

Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{32 +30 + 33 + 39 + 36 +36}{6} =34 \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Somit ist das mittlere Wachstum 34 1/3.

Aber das aufstellen der Diffenenzialgleichung war so gemeint, dass man 2 Punkte hernimmt und das k bzw d berechnet oder?

mfg

05.12.2011, 13:23

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Wachstum
Wo hast du denn den letzten Wert her? Ich habe die Werte 32, 30, 33, 39 und 36, das sind 5 Ergebnisse.

Meinen Wachstumsfaktor habe ich so berechnet:

$\begin{eqnarray*} k = \frac{206-36}{49-14}= \frac{170}{35}= \frac{34}{7} \approx 4,86 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber das aufstellen der Diffenenzialgleichung war so gemeint, dass man 2 Punkte hernimmt und das k bzw d berechnet oder?

Im Prinzip ja, weil wir hier aber Messungen an lebenden Objekten haben, gibt es Abweichungen von der Ideallinie. Deswegen halte ich die Mittlung über den gesamten Zeitraum für am sinnvollsten, weil so einzelne Schwankungen am besten aufgefangen werden.

smile

05.12.2011, 16:48

Steffe2361

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Wachstum

Zitat:

Wo hast du denn den letzten Wert her?

ich glaube dir fehlt die erste Messung vom Tag 0 bis Tag 14 beziehungsweiße habe ich von der "Geburt" weggerechnet.

Somit ist das eine einfache Division:

$\begin{eqnarray*} \frac{206}{49} \approx 4.2040 cm \end{eqnarray*}$ täglicher Zuwachs

Danke dir smile

05.12.2011, 17:05

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineares Wachstum
Hmm, ich denke mal, die ersten 14 Tage sind nicht umsonst nicht in der Tabelle enthalten. Vermutlich entspricht das Wachstumsverhalten in dieser Phase nicht der aufzustellenden Funktion: Es werden in 14 (!) Tagen 36 cm erreicht, pro Woche also nur 18 cm, pro Tag wären es etwa 2,57 cm.

Du siehst, es ist weniger als bei den Werten, die später erreicht werden.
Nicht umsonst liegt der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse nicht bei 0 (wo er in Wirklichkeit liegt: Die keimenden Samen haben die Höhe 0), sondern bei -32 cm.
Das heißt aber nicht, dass die Samen 32 cm tief in die Erde eingebuddelt wurden. Augenzwinkern

Vielmehr wachsen sie in den ersten 14 Tagen weniger.

Aus diesem Grund würde ich diese Phase ignorieren und nur mit den gegebenen Werten rechnen.

smile

Neue Frage »

Antworten »

Lineares Wachstum

Verwandte Themen