Produkt (Kategorientheorie)

04.12.2011, 12:33	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt (Kategorientheorie) Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} (P,\leq) \end{eqnarray}$ eine partiell geordnete Menge. Fasst man $\begin{eqnarray} (P,\leq) \end{eqnarray}$ als Kategorie $\begin{eqnarray} \mathcal{P} \end{eqnarray}$ auf mit $\begin{eqnarray} Ob\mathcal{P}=P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \operatorname{Hom}_{\mathcal{P}}(a,b)=\begin{cases}<br /> \left\{(a,b)\right\}, & a\leq b\\<br /> \emptyset, & \text{sonst}<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a,b\in P \end{eqnarray}$ , so gilt: Die Familie $\begin{eqnarray} (a_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ von Elementen von $\begin{eqnarray} \mathcal{P} \end{eqnarray}$ besitzt genau dann ein Infimum $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} (a_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ ein Produkt in der Kategorie $\begin{eqnarray} \mathcal{P} \end{eqnarray}$ besitzt; dieses ist gegeben durch das Objekt $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ und die Morphismenfamilie $\begin{eqnarray} ((c.a_i))_{i\in I} \end{eqnarray}$ (als "Projektionen"). Meine Ideen: Hallo! Erstmal einen schönen 2. Advent! Und dann habe ich mir mal bei Wikipedia durchgelesen, was der Begriff "Produkt" überhaupt in der Kategorientheorie bedeutet. http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Kategorientheorie) Ich versuche mich damit mal an dem Beweis. " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " Es besitze also $\begin{eqnarray} (a_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ ein Produkt in der Kategorie $\begin{eqnarray} \mathcal{P} \end{eqnarray}$ . Das bedeutet (in der Wiki-Notation, wobei es hier sicherlich nicht so schön ist, daß das Objekt auch P heißt, deswegen habe ich das Q genannt): Es gibt ein Paar $\begin{eqnarray} (Q, \left\{pr_i : i\in I\right\}) \end{eqnarray}$ , wobei 1.) Q ein Objekt aus der Kategorie ist, also ein Element aus P 2.) $\begin{eqnarray} pr_i \end{eqnarray}$ ein Morphismus von Q nach $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ ist für jedes $\begin{eqnarray} i\in I \end{eqnarray}$ Und es gibt für jedes Objekt C aus $\begin{eqnarray} \mathcal{P} \end{eqnarray}$ , also aus P, und jede Familie von Morphismen $\begin{eqnarray} f_i \end{eqnarray}$ (von C nach $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ ), genau einen Morphismus f (von C nach Q) mit $\begin{eqnarray} f_i=pr_i\circ f \end{eqnarray}$ . Ich weiß nicht genau, wie ich das ausdrücken soll: Aber das alles funktioniert hier doch eben nur, wenn das Objekt C identisch mit dem Infimum ist. Denn wäre es ein anderes Objekt, wäre ja nicht für jedes Objekt C so ein Morphismus gegeben, denn dann könnte die Morphismenmenge ja leer sein. Wenn zum Beispiel C=a und Q=b mit $\begin{eqnarray} a>b \end{eqnarray}$ , gäbe es ja gar keinen solchen Morphismus f für diese Elemente und dann wäre die Definition eines Produkts ja nicht erfüllt, denn da muss das ja für ALLE C gelten! Die Definition ist nur erfüllt, wenn $\begin{eqnarray} C=\inf P \end{eqnarray}$ . Wenn also feststeht, daß es ein Produkt gibt, muss es auch das Infimum geben, weil es sonst gar kein solches Paar (also kein Produkt) gäbe. Das ist einigermaßen okay ausgedrückt, hoffe ich! " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Naja, hier würde ich einfach nur schreiben, wenn ich mich wieder auf die Wiki-Notation beziehe: Setze $\begin{eqnarray} C:=\inf P \end{eqnarray}$ . Dann ex. ein Paar $\begin{eqnarray} (Q, \left\{pr_i:i\in I\right\}) \end{eqnarray}$ , für das alle aufgeführten Eigenschaften (die ich jetzt nicht nochmal extra weiderhole) gelten. Wäre das ausreichend? (Man muss doch nur zeigen, daß es so ein Paar gibt und das wäre damit doch ewrledigt?)
04.12.2011, 13:44	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt (Kategorientheorie) Ich glaube, ich habe da etwas durcheinander gebracht. Ich muss doch eher $\begin{eqnarray} Q:=\inf a_i \end{eqnarray}$ setzen, würde ich meinen.

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