Vollst. Induktion Summenformel 1/k

04.12.2011, 13:52

Chrilo

Vollst. Induktion Summenformel 1/k

Hallo

Ich habe zur folgender Aufgabe eine Frage:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} \geq 1+\frac{1}{2}*n \end{eqnarray*}$

Und zwar hänge ich bei der IV

Unser Übungsleiter hatte uns einen Tip gegeben das

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}=\sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} + \sum\limits_{k=2n+1}^{2n+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand schrittweise erläutern wie er diesen Schritt gemacht hat?

04.12.2011, 14:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Chrilo
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} \geq 1+\frac{1}{2}*n \end{eqnarray*}$

Diese Behauptung ist falsch, wie man unschwer bereits für n=3 ausrechnen kann. Vermutlich meinst du stattdessen die Behauptung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} \geq 1+\frac{1}{2}\cdot n \end{eqnarray*}$ .

Entsprechend wird der Tipp auch eher

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k}=\sum\limits_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} + \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

lauten.

04.12.2011, 16:34

Chrilo

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Oh ja sorry ich habe mnich veschrieben. geschockt

Also dies ist richtig:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k}=\sum\limits_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} + \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Hat jemand ne schrittweise erläuterung parat?

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