Wärmeleitungs - Spezialfall Teil 2

10.01.2007, 15:16	Firestormer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wärmeleitungs - Spezialfall Teil 2 Schönen Guten Tag an alle! Hier geht es jetzt um den zweiten Teil meines Problems (erster Teil: (siehe Beitrag "Wärmeleitung - Spezialfall")), das sich um die Lösung der Wärmeleitungsgleichung für die Wärmeleitung in einem "halbunendlichen" Stab (x>=0) mit der anfänglichen Temperaturverteilung $\begin{eqnarray} u(x,0) = f(x) \end{eqnarray}$ und einem Wärmereservoir der Temperatur u=0 an x=0 ab dem Zeitpunkt t=0 $\begin{eqnarray} u(0,t) = 0 \end{eqnarray}$ dreht. Zuerst wurde eine Umformung gefordert, bei der ich gestern Nacht endlich den Durchbruch erzielt habe und bei meiner Form $\begin{eqnarray} u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}(\int_{-\frac{x}{2 \sqrt{kt}} }^{\infty}~e^{-w^2}f(2w \sqrt{kt}+x)~dw - \int_{\frac{x}{2 \sqrt{kt}} }^{\infty}~e^{-w^2}f(2w \sqrt{kt}-x)~dw) \end{eqnarray}$ angekommen bin. Dies stellt jetzt eine Lösung in integraler Form für den allgemeinen Fall dar. Jetzt gehe ich daran, die Lösung für den Spezialfall für den Anfangswert $\begin{eqnarray} u(x,0) = u_{0} \end{eqnarray}$ in expliziter Form darzustellen. Wiederum stecke ich fest... Ich denke hier wird man um eine Abschätzung der Integrale nicht herumkommen oder sehe ich einfach den Wald(eine triviale Lösung) vor lauter Bäumen(Integralen) nicht?
10.01.2007, 18:23	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal einfach für $\begin{eqnarray} f(2w\sqrt{\kappa t}+x) \end{eqnarray}$ ,bzw. $\begin{eqnarray} f(2w\sqrt{\kappa t}-x) \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} u_0 \end{eqnarray}$ einsetzen und dann als Fehlerfunktion zusammenfassen mit: $\begin{eqnarray} u(x,t)=u_0 \cdot erf(...) \end{eqnarray}$ edit: die Integrale kann man dann ja auch zusammenfassen, weil die Grenzen dann ja zusammengelegt werden können zu: $\begin{eqnarray} -x/2\sqrt{\kappa t}...x/2\sqrt{\kappa t} \end{eqnarray}$ edit2: außerdem ist der Verlauf für $\begin{eqnarray} e^{-w^2} \end{eqnarray}$ achsensymmetrisch, geometrisch betrachtet wäre das Integral dann doch mit Sicherheit auch in den Grenzen $\begin{eqnarray} 0...x/2\sqrt{\kappa t} \end{eqnarray}$ berechenbar, indem man mit 2 multipliziert.
10.01.2007, 20:03	Firestormer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wärmeleitungs - Spezialfall Teil 2 Das mit den Grenzen des Integrals ist eine tolle Idee - so kann ich dann ja wirklich auf die Err-Fkt. kommen! Als Lösung erhalte ich also jetzt $\begin{eqnarray} u(x,t) = u_0 erf(\frac{x}{2\sqrt{kt}}) \end{eqnarray}$ Danke!
10.01.2007, 20:22	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wärmeleitungs - Spezialfall Teil 2 Ja, das hatte ich auch raus.

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