Untervektorraum, Isomorphismus von graph(L) |
10.01.2007, 15:51 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Untervektorraum, Isomorphismus von graph(L) Habe hier eine Aufgabe, kann sie aber alleine nicht lösen.Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Sei Abbildung. Dann ist der Graph von f, Sei ein Körper und eine Abbildung. Zeigen Sie: (a) L linear ist Untervektorraum. (b) Ist L linear,so ist , definiert durch für alle , ein Isomorphismus von K^n auf . Um einen Untervektorraum zu zeigen muss man doch zeigen dass folgende Bedingungen erfüllt sind: (1) (2) für alle gilt: (Abgeschlossenheit der Vektoraddition) (3) Für alle und gilt: Wie mache ich das aber hier?Kann mir bitte jemand helfen? Danke |
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10.01.2007, 18:36 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Untervektorraum, Isomorphismus von graph(L) zu a) Ich denke so ähnlich dürfte das aussehen: angenommen ist eine lineare Abb., dann gilt für : für gilt dann: wobei die Tupel Wenn man das auch noch für die skalare Multiplikation zeigt, hat man mal die Hinrichtung. Rückrichtung dürfte ähnlich funktionieren. Gruß Armin |
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10.01.2007, 19:05 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du damit?wie bist du darauf gekommen?ist das hier notwendig? wobei die Tupel ist eine lineare Abb., dann gilt für und : für gilt dann: Ist das für die Multiplikation so okay? Wie sieht denn der Rückweg aus? Könntest du mir da vllt auch ein Bsp. geben? Wäre toll!Danke schon mal! |
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10.01.2007, 19:14 | tim3k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a ist nur ein skalar, da kannst du L nicht ausführen besser: zeige: (ax,L(ax))=a(x,L(x)) |
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10.01.2007, 19:42 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du meinst so? ist eine lineare Abb., dann gilt für und : für gilt dann: Weiß nicht ob das jetzt so stimmt. Könntest du mich bitte verbessern wenn es falsch ist? |
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10.01.2007, 19:55 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. ist ein Unterraum von , wenn gilt: für ist auch und für ist auch . D.h. a ist ein Skalar, kein Vektor, auf den du L anwenden könntest. Da und , ist das Tupel (das geordnete Paar) . Wie oben angedeutet, musst du zum Beweis, dass aus der Linearität von L die Unterraumeigenschaft von Graph(L) folgt, entscheidend die Linearität nutzen, also dass L(x+y) = L(x) + L(y) und dass L(ax) = aL(x). Gruß Armin |
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10.01.2007, 20:18 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist eine lineare Abb., dann gilt für und für gilt dann: ist das so richtig für die Multipl.? |
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10.01.2007, 20:54 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nochmal: a ist ein Skalar, d.h. ! ! und du musst zeigen, dass für und gilt, dass ebenfalls in liegt. Gruss Armin Edit: Die letzte Zeile stimmt so, wenn du noch erklären kannst, wieso du das a "herausziehen" kannst. Entscheidend ist dabei nämlich der (von dir unterschlagene) Zwischenschritt. |
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10.01.2007, 21:35 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich jetzt kapiert. Also ich weiß nicht was das für ein Zwischenwert ist, ich sehe keine andere Möglichkeit wie ich noch umformen kann. Kannst du mir ihn nennen? |
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10.01.2007, 21:43 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Is schon richtig. Ich meinte nur, man sollte besser schreiben: weil man da genau sieht, wo man die Linearität von L benutzt hat. Gruß Armin |
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10.01.2007, 21:51 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso hast du das gemeint. Somit wäre dann die Hinrichtung fertig. Ich denke dass man wol auch eine Rückrichtung machen muss,oder? Eigentlich kann ich doch dazu das ganze einfach vom Ende zum Anfang, also gerade Rückwärts nochmal abschreiben oder? |
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10.01.2007, 22:07 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na ja, nicht wirklich. Du hast doch bei der Hinrichtung entscheidend von der Linearität von Gebrauch gemacht. Bei der Rückrichtung sollst du aber erst zeigen, dass - unter der Annahme, dass der ein Unterraum von ist - linear ist. Gruß Armin |
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10.01.2007, 22:18 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm ja du hast wohl recht. Aber wie soll ich dann da anfangen? Mit Linearität kann ich also nicht beginnen. Also dann irgendwie mit dem graph(L). Nur wie? |
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10.01.2007, 22:41 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Du beginnst mit der Tatsache, dass ein Teilraum von ist. Die Elemente von sind . Das sind geordnete Paare von und , insgesamt also n+m Tupel. Wenn die i-te Komponente bezeichnet, sind das also Vektoren, die so aussehen: Aus der Unterraumeigenschaft von folgt nun für 2 beliebige solche Elemente, dass die Summe ebenfalls Element von ist, ebenso für Skalare. Zur Erinnerung: zu zeigen ist, dass und für skalares a. Gruß Armin |
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10.01.2007, 23:03 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey Armin, Kann man das ganze dann in Worten schreiben,so wie du es z.B. gemacht hast? und eben noch "Zur Erinnerung: zu zeigen ist, dass und für skalares a." vollständig aufschreiben? Gruß Chris |
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10.01.2007, 23:45 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab nur noch nichts gezeigt! Ich hab nur die Fakten auf den Tisch gelegt. Dass aus diesen Fakten folgt, dass L linear ist, muss erst argumentiert werden. Schreib doch mal konkret auf, was passiert, wenn man 2 Elemente aus addiert. Gruß Armin |
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11.01.2007, 00:02 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wäre doch dann das hier, was wir auf dem Hinweg schon gezeigt haben oder? |
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11.01.2007, 00:16 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage ist: Wie begründest du das letzte Gleichheitszeichen? Gruß Armin |
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11.01.2007, 00:25 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wäre doch dann mit der Linearität begründet oder etwa nicht? Was hättest du jetzt vorgeschlagen? Gruß |
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11.01.2007, 00:30 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eben nicht, denn die musst du ja zeigen mfG 20 |
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11.01.2007, 00:32 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und womit ist es dann begründet? Wie zeige ich das dann? Lg |
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11.01.2007, 01:21 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nimm Da ist Element des Graphen von L. Was heißt das nun gemeinsam mit der Tatsache, dass Element des Graphen ist? Gruß Armin |
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11.01.2007, 01:32 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt dass: auch ein Element des Graphen ist! Stimmt doch oder? und damit wäre das also bewiesen. Das muss man dann wohl noch für die Multiplikation zeigen und das wärs dann gewesen oder? LG Chris |
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11.01.2007, 01:47 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt zwar aber damit hast du nur gezeigt, dass Element des Graphen ist (wieso?), was wir aber sowieso schon wussten, da ja ein Unterraum ist. Wir sollen aber die Linearität von L nachweisen. Beachte, wie z definiert wurde und schreibe dann explizit an. Gruß Armin EDIT: Ich muss mich korrigieren: Du hast gezeigt, dass Element des Graphen ist. |
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11.01.2007, 01:59 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich komme nicht mehr drauf Könntest du es mir aber bitte trotzdem verraten? Ich brauch es doch morgen schon. Gruß Chris |
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11.01.2007, 02:15 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist trivialerweise Element des Graphen für . Wegen der Unterraumeigenschaft von sind und und damit Elemente des Graphen. Da und L eine eindeutige Zuordnung ist, gilt: und , also Für Skalare funktioniert das analog. Werd mich jetzt in die Falle hauen. Gruß Armin |
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