Kongruenz modulo vielfachem

04.12.2011, 15:31

gumbo

Kongruenz modulo vielfachem

Hallo zusammen,
ich sitze grade bei folgender Aufgabe auf dem schlauch:

Sind $\begin{eqnarray*} z, n, a \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und ist $\begin{eqnarray*} a \equiv 0(mod z * n) \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} a \equiv 0(mod n) \end{eqnarray*}$

Intuitiv verstehe ich schon das es so ist, aber formal komme ich nicht drauf. Sollte dann ungefähr so aussehen denke ich:

$\begin{eqnarray*} a\equiv0 (mod z * n) <=> zn | a <=>\exists k \in \mathbb{Z}: a = k*z*n <=> ??? <=>\exists k \in \mathbb{Z}: a = k*n <=> n | a <=>a \equiv 0 (mod n) \end{eqnarray*}$

Aber was ich genau bei ??? machen soll erschließt sich mir nicht. Muss ich mein k geschickt wählen oder geht es doch irgendwie anders?

grüße

04.12.2011, 15:35

HAL 9000

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Ersetze mal die beiden Zeilen

Zitat:

Original von gumbo
$\begin{eqnarray*} <=> ??? <=>\exists k \in \mathbb{Z}: a = k*n \end{eqnarray*}$

durch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \quad \exists m \in \mathbb{Z}:\; a = m\cdot n \end{eqnarray*}$

Konkret ist das nämlich $\begin{eqnarray*} m=k\cdot z \end{eqnarray*}$

04.12.2011, 15:59

gumbo

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Vielen dank, aber warum gibt es denn immer ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb{Z}: m = k*z \end{eqnarray*}$ ?

04.12.2011, 16:44

gumbo

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mhh, mit dem zweiten teil der Aufgabe habe ich auch Probleme:

Sind $\begin{eqnarray*} m, n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und ist $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein gemeinsamer Teiler von m und n, und habendie beiden Gleichungen (wobei $\begin{eqnarray*} a, b\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} x \equiv a(mod m) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x \equiv b(mod n) \end{eqnarray*}$
eine gemeinsame Lösung in \mathbb{Z} , so ist $\begin{eqnarray*} a &#8722; b \equiv 0(mod t) \end{eqnarray*}$ .

Vielleich kann mir jemand bei einem ansatz helfen?

Grüße

04.12.2011, 16:47

Gumbo

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arr... so is ist $\begin{eqnarray*} a - b \equiv 0(mod t) \end{eqnarray*}$ ..muss es heißen

04.12.2011, 17:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von gumbo
Vielen dank, aber warum gibt es denn immer ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb{Z}: m = k*z \end{eqnarray*}$ ?

Das Produkt zweier ganzer Zahlen (hier k und z) ist immer ... Augenzwinkern

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