Operatornorm, Grenzennorm, adjungierte Matrizen

04.12.2011, 17:01	Biensche2	Auf diesen Beitrag antworten »
Operatornorm, Grenzennorm, adjungierte Matrizen Meine Frage: Ich muss einen Seminarvortrag über das Orthogonalisierungsverfahren von Housholder vorbereiten. Dafür soll ich das Buch "Steor/Bolirsch: Numerische Mathematik 1" von Freund und Hoppe verwenden. Dort ist auf der Seite 243 folgende Gleichung die ich einfach nicht nachvollziehen kann: U ist eine unitäre Matrix A^H ist die adjungierte Matrix von A lub(A) ist die Grenzennorm, oder Operatornorm von A lub(A)= lub(U^H U A)<= lub(U^H) lub(U A) = lub(U A) <= lub(U) lub(A) = lub(A) und somit lub(U A) = lub(A) und ebenso lub(A U) = lub(A) Meine Ideen: lub(A)= lub(U^H U A) verstehe ich, denn U^H*U=I lub(U^H U A)<= lub(U^H) lub(U A) wegen submultiplikativität (obwohl ich leider den Beweis in diesem Buch, dass adjungierte Matrizen submultiplikativ sind auch nicht ganz verstehe...) aaber danach hört es leider auf. Warum kann ich lub(U^H) einfach im nächsten Schritt weglassen???
06.12.2011, 00:41	ComplexP	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim googlen habe ich direkt eine Vorschau des von dir genannten Buches gefunden: Link . Dort steht auf Seite 229, dass für die euklidische Grenzennorm gilt: $\begin{eqnarray} \text{lub}_2(U)=1 \end{eqnarray}$ Bei der von dir zitierten Ungleichung wird vermutlich auch die euklidische Grenznorm verwendet (zumindest steht das am Ende von Seite 242, die zwei folgenden Seiten sind in der Google Vorschau leider nicht sichtbar). Und weil für adjungierte Matrizen gilt: $\begin{eqnarray} (U^H)^H = U \end{eqnarray}$ gilt auch (über die Definition der eukl. Grenzennorm): $\begin{eqnarray} \text{lub}_2(U^H)=1 \end{eqnarray}$ und damit wird klar, wie diese Umformungen der Ungleichung zustande kommen.
06.12.2011, 11:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Punkt bei dem Verfahren ist, dass sich die Kondition durch Multiplikation von links mit einer orthogonalen/unitären Matrix nicht ändert. Beim Gauss sieht das anders aus. Dabei solltest du mal berechnen: $\begin{eqnarray} \\|Ux\\|^2 = ... \end{eqnarray}$ Denn es steht noch aus, zu beweisen $\begin{eqnarray} \text{lub}_2(U)=1 \end{eqnarray}$ Dazu brauchst du $\begin{eqnarray} (U^H)^H = U \end{eqnarray}$ was aber aus der Definition folgt. Deine "Ungleichungen" liefert am Ende das Ergebnis $\begin{eqnarray} \text{lub}_2(A)=\text{lub}_2(UA) \end{eqnarray}$

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