Lineare Transportgleichung

04.12.2011, 17:42

Physinetz

Lineare Transportgleichung

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten mit der Theorie der linearen Transportgleichung (oder auch Konvektionsgleichung):

$\begin{eqnarray*} u_t+a*u_x=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt heißt es in meinem Skript: Die Gleichung lässt sich folgendermaßen exakt lösen:

Zitat:

Betrachtet wird die Geradenschar C: $\begin{eqnarray*} x=x(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=a \end{eqnarray*}$ . Jeder dieser Geraden besitzt die Steigung 1/a in der (x,t) Ebene. Die Zeitvariablet wird hierbei als Kurvenparameter benutzt

Hier meine erste Frage: Wenn $\begin{eqnarray*} x=x(t) \end{eqnarray*}$ eine Gerade ist mit $\begin{eqnarray*} dx(t)/dt=a \end{eqnarray*}$ dann ist doch gerade $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=a \end{eqnarray*}$ die entsprechende Steigung.

Zitat:

FÜr die Änderung einer FUnktion u auf einer Geraden der Schar C gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}(u(x(t),t)=u_x \frac{dx}{dt}+u_t*1=u_t+a*u_x \end{eqnarray*}$ Jede Lösung u der linearen Transportgleichung öndert sich somit entlang einer Geraden C nicht

Also zuallererst verstehe ich nicht wie die Ableitung zustandekommt. Ist das hier eine Kettenregel oder ..? Das $\begin{eqnarray*} u_x \frac{dx}{dt}+u_t*1=u_t+a*u_x \end{eqnarray*}$ ist, ist für mir einleuchtend, nur der Anfang nicht.
Und dann verstehe ich nicht ganz, wieso sich die Lösung entlang der Geraden denn nicht ändert?

Weiter dann noch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u(x,0)=q(x) \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich die Lösung als $\begin{eqnarray*} u(x,t)=q(x-at) \end{eqnarray*}$

Ich steh irgendwie auf dem Schlauch...wikipedia etc. hilft mir auch nicht weiter

Besten Dank für Tipps und Tricks verwirrt

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