Gronwallungleichung Beweis

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04.12.2011, 20:44	redas21	Auf diesen Beitrag antworten »
Gronwallungleichung Beweis Ich kenne bisher folgende Version des Gronwall-Lemmas: Gilt $\begin{eqnarray} d(t)\leq a+b\int_{t_{0}} ^t \! d(s) \, ds \end{eqnarray}$ so folgt bereits $\begin{eqnarray} d(t)\leq ae^{b(t_{0} -t)} \end{eqnarray}$ . Ich soll nun damit folgende Variante zeigen: Gilt $\begin{eqnarray} 0\leq u(t)\leq \gamma (t)+d\int_a^t \! u(s) \, ds \end{eqnarray}$ mit einer monoton wachsenden, nichtnegativen Funktion $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ , so folgt: $\begin{eqnarray} u(t)\leq \gamma (t)e^{d(t-a)} \end{eqnarray}$ Dazu habe ich bisher folgendes gemacht: Sei $\begin{eqnarray} T\in \left[a,b\right] \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \forall t\in \left[a,T\right] :\gamma (t)\leq \gamma (T) \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} 0\leq u(t)\leq \gamma (t)+d\int_a^t \! u(s) \, ds\leq \gamma (T)+d\int_a^T \! u(s) \, ds \end{eqnarray}$ Nach der Gronwallungleichung gilt somit $\begin{eqnarray} u(t)\leq \gamma (T)e^{d(T-a)} \end{eqnarray}$ für beliebiges T Da T beliebig gewählt ist, folgt die Behauptung für alle t. Passt das so oder ist das dann doch etwas schwieriger Danke!
04.12.2011, 21:12	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ich denke, die Idee dürfte richtig sein. Die Ausführung ist allerdings noch nicht so ganz sauber. 1. Meintest du nicht eher $\begin{eqnarray} 0\leq u(t)\leq \gamma (t)+d\int_a^t \! u(s) \, ds\leq \gamma (T)+d\int_a^t \! u(s) \, ds \end{eqnarray}$ ? (Beachte die obere Integrationsgrenze.) 2. Für welche t, T gilt diese Ungleichung denn überhaupt? (Du hast geschrieben, dass sie für beliebige T richtig sei, bist du dir das sicher?)
04.12.2011, 21:19	redas21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt! Oben im Integral muss natürlich t stehen. Also meine Ungleichung gilt für alle $\begin{eqnarray} t\in \left[a,T\right] \end{eqnarray}$ . So dann erhalte ich mit Gronwall das folgendes gilt: $\begin{eqnarray} u(t)\leq \gamma (T)e^{d(t-a)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\in \left[a,T\right] \end{eqnarray}$ Wie kann ich jetzt hier weitermachen?
04.12.2011, 21:22	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest nun t fixieren und T variieren. Dann hast du's auch schon.
04.12.2011, 21:28	redas21	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich einfach T gegen t gehen lassen oder wie?
04.12.2011, 21:40	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup, du hast ja durch Gronwall bekommen, dass für beliebiges t gilt: $\begin{eqnarray} u(t) \le \gamma(T)e^{d(t-a)} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} a\le t\le T \end{eqnarray}$ . Insbesondere gilt diese Ungleichung dann für $\begin{eqnarray} t = T \end{eqnarray}$ . Vielleicht kommt es dir jetzt so vor, als ob es dann unnötig gewesen wäre, zuerst das T zu wählen. Doch das ist nicht der Fall, denn wenn man von Anfang an t = T gewählt hätte, dann hätte man Gronwall's Lemma nicht anwenden können. Man muss also zuerst T fest wählen und dann die Ungleichung für $\begin{eqnarray} t\le T \end{eqnarray}$ zeigen und kann erst anschliessend t fixieren und T = t setzen.
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04.12.2011, 21:44	redas21	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön! Aber ich hab noch eine Frage. Meine erste Ungleichung stimmt doch auch, also da wo im Integral oben das T steht. Ich weiß ja,dass u(t) nichtnegativ ist, also ist das Integral doch auch monoton wachsend. Und kann ich dann nicht einfach sagen, dass T beliebig gewählt werden kann und die Ungleichung stimmt?
04.12.2011, 21:46	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz: Willst du auf $\begin{eqnarray} 0\leq u(t)\leq \gamma (T)+d\int_a^T \! u(s) \, ds \end{eqnarray}$ das Gronwallsche Lemma anwenden?
04.12.2011, 21:49	redas21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ok stimmt! Geht natürlich nicht

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