um welchen Wachstumsprozess handelt es sich?

10.01.2007, 17:04

w00dY

um welchen Wachstumsprozess handelt es sich?

Hallo,

ich muss für die Schule eine Aufgabe erledigen, bei der ich leider meine Schwierigkeiten habe. Ich habe eine konstante Geburtenrate a und eine Sterberate b die proportional zum Bestand ist. Die dazugehörige Differentialgleichung lautet $\begin{eqnarray*} \frac{f'(t)}{f(t)} = a - b * f(t) \end{eqnarray*}$
Kann mir irgendwer erklären welches Wachstum hierbei beschrieben wird?

Im Voraus schon einmal Danke
w00dY

edit:
Wenn ich schon mal dabei bin zu fragen, dann könnt ihr mir bestimmt auch sagen, ob ich meine erste Teilaufgabe richtig gelöst habe.
Ich musste die Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums aufstellen, für den Fall, dass sich die Wachstumskonstante k aus der Geburtenrate a und der Sterberate b zusammensetzt.
Mein Ansatz war dann halt wie beim "normalen" exponentiellen Wachstum
$\begin{eqnarray*} f(t) = n * m ^{k * t} \end{eqnarray*}$ (n:Anfangsbestand; m:Wachstumsfaktor; k:Wachstumskonstante)
für k habe ich dann einfach a-b eingesetzt, weil ich davon ausgehe, dass sich der Wachstumsfaktor aus der Differenz zwischen der Geburtenrate a und der Sterberate b zusammensetzt, also:
$\begin{eqnarray*} f(t) = n * m ^{(a - b) * t} \end{eqnarray*}$
ableitung:
$\begin{eqnarray*} f'(t) = k * f(t) = (a - b) * f(t) \end{eqnarray*}$
anschließend die Seperation der Variablen (also /f(t))
$\begin{eqnarray*} \frac{f'(t)}{f(t)} = a - b \end{eqnarray*}$
das ganze integrieren:
$\begin{eqnarray*} ln(f(t)) = (a - b) * t + c \end{eqnarray*}$ (c:additive Integrationskonstante)
mit e^:
$\begin{eqnarray*} f(t) = e^{(a - b) * t + c} \end{eqnarray*}$
die additive Integrationskonstante aus der Term herausziehen
$\begin{eqnarray*} f(t) = e^{(a - b) * t} * e^c \end{eqnarray*}$
(e^c: Anfangsbestand n)
$\begin{eqnarray*} f(t) = n * e^{(a - b) * t} \end{eqnarray*}$ (=DGL)

10.01.2007, 17:47

w00dY

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Kann mir denn keiner helfen?
Ich geh mal davon aus, dass es sich um vergiftetes Wachstum handelt, aber kann irgendwer mir das mal erklären?

10.01.2007, 17:51

yeti777

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RE: um welchen Wachstumsprozess handelt es sich?
Hallo w00dY!

Wenn du die DGL etwas umstellst, erhältst du:

$\begin{eqnarray*} f'(t)= \frac{df}{dt} = af(t)- bf^2(t) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich richtig erinnere, ist das die logistische DGL oder auch die DGL von VERHULST. Die Todesrate wird mit einem quadratischen Glied berücksichtigt, um hemmende Einflüsse bei grossen Populationen besser zu berücksichtigen.

Schau doch mal unter diesen Namen im Internet nach.

Gruss yeti

Edit1: Schau zB. mal hier: http://sites.inka.de/picasso/Notheis/Einleitung.htm

10.01.2007, 18:09

w00dY

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Danke!
Also doch ein logistisches Wachstum. War meine erste Vermutung, hab dann aber gedacht, dass das schwachsinnig ist, weil die Aufgabe direkt beim vergifteten Wachstum stand, quasi als Einleitungsaufgabe.
Ist meine andere Teilaufgabe jedenfalls richtig?

10.01.2007, 19:41

w00dY

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Ich brauche dringend noch einmal eure Hilfe. Ich versuch jetzt schon seit 1 1/2 Stunden irgendwie die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{f'(t)}{f(t)} = a - b * f(t) \end{eqnarray*}$ (a: Geburtenrate; b: Sterberate)
zu beweisen. Für das logistische Wachstum hatten wir bisher immer die DGL
$\begin{eqnarray*} f'(t) = k * f(t) * [G - f(t)] \end{eqnarray*}$ (k: Wachstumskonstante; G: obere Grenze)
Ich brauche unbedingt einen Ansatz, da alle Versuche, die ich bisher gestartet habe kläglich gescheitert sind.
Hat irgendwer einen Tipp für mich?

10.01.2007, 20:32

yeti777

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Erste Gleichung mit f(t) multiplizieren, die zweite ausmultiplizieren, dann Koeffizientenvergleich.

Gruss yeti

10.01.2007, 20:37

w00dY

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Dann kommt da raus, dass die Zuwachsrate der Sterberate, und die obere Grenze multipliziert mit der Zuwachsrate der Geburtenrate entspricht, oder wie?
also k=b und G*k=a
Ich bin gerade "ein wenig" verwirrt!

10.01.2007, 21:35

yeti777

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Also wenn du die DGL so schreibst $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dt} = af(t)- bf^2(t) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} b= k \end{eqnarray*}$ die Sterberate und $\begin{eqnarray*} a= kG \end{eqnarray*}$ die Geburtsrate, wobei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die obere Grenze der Population darstellt. Du liegst also richtig.

Gruss yeti

Edit: Was du genau mit dem Begriff "Zuwachsrate" meinst, ist mir nicht klar. Die Geburten sind linear modelliert, die Tode quadratisch. Deshalb kann man den Zuwachs nicht durch Geburten - Tode definieren. Meinst du das?

10.01.2007, 22:05

w00dY

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Alles klar, aber bei der anderen Teilaufgabe kann ich doch davon ausgehen, dass sich die Wachstumskonstante k aus der der Geburtenrate a und der Sterberate b zusammensetzt, oder? Ich hoffe, dass das so richtig ist.

Zitat:

Original von yeti777
Was du genau mit dem Begriff "Zuwachsrate" meinst, ist mir nicht klar. Die Geburten sind linear modelliert, die Tode quadratisch. Deshalb kann man den Zuwachs nicht durch Geburten - Tode definieren. Meinst du das?

Genau das meinte ich... da hatte ich vorhin einen Denkfehler drin und hab ewig lange versucht irgendwie rumzurechnen.

10.01.2007, 22:18

yeti777

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RE: um welchen Wachstumsprozess handelt es sich?

Zitat:

Original von w00dY
Ich musste die Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums aufstellen, für den Fall, dass sich die Wachstumskonstante k aus der Geburtenrate a und der Sterberate b zusammensetzt.
Mein Ansatz war dann halt wie beim "normalen" exponentiellen Wachstum
$\begin{eqnarray*} f(t) = n * m ^{k * t} \end{eqnarray*}$ (n:Anfangsbestand; m:Wachstumsfaktor; k:Wachstumskonstante)
für k habe ich dann einfach a-b eingesetzt, weil ich davon ausgehe, dass sich der Wachstumsfaktor aus der Differenz zwischen der Geburtenrate a und der Sterberate b zusammensetzt, also:
$\begin{eqnarray*} f(t) = n * m ^{(a - b) * t} \end{eqnarray*}$

Das sehe ich genau so Freude

!

Währenddem bei diesem Ansatz bei positivem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Population ins Unendliche wächst, setzt beim zweiten Ansatz mit der quadratischen Sterberate eine Sättigung ein. Die Population strebt gegen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , bleibt aber immer darunter. Aber ich nehme an, das weisst du schon.

Gruss yeti

03.06.2010, 17:17

GaDd

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RE: um welchen Wachstumsprozess handelt es sich?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{f'(t)}{f(t)} = a - b \end{eqnarray*}$
das ganze integrieren:
$\begin{eqnarray*} ln(f(t)) = (a - b) * t + c \end{eqnarray*}$ (c:additive Integrationskonstante)

Hallo,

Ich hab die selbe Aufgabe zu lösen, kapier jetzt aber nicht wie man $\begin{eqnarray*} ln(f(t)) = (a - b) * t + c \end{eqnarray*}$ darauf gekommen ist. Kann mir irgendwer bitte den bzw. die Rechenschritte erklären?
Danke schon einmal im Voraus! :-)

greez

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