Konvergenzradien von Potenzreihen

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chrlan Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradien von Potenzreihen
Meine Frage:
a) Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen,



b) Beweisen Sie



für alle reellen Zahlen mit .

Meine Ideen:
zu der a)
r kann ich ja so bestimmen:



Wie mache ich dann weiter?
Noch eine Frage nebenbei: weiß jemand, warum nicht unter das limsup geschrieben wurde?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Zitat:
Original von chrlan
r kann ich ja so bestimmen:



Wie mache ich dann weiter?

Schau dir an, was dein a_n ist und bestimme r gemäß der genannten Formel.
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre für die erste von der a) dann r=0.
bin ich dann schon fertig?
erscheint mir irgendwie zu leicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Das Ergebnis ist im Prinzip richtig, aber auf die erste von a wirst du die Formel nicht so einfach anwenden können.
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

warum lässt sich das nicht leicht anwenden?



oder sehe ich das falsch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte das folgen? Und vor allem: was ist bei dir a_n ?
 
 
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

bei mir ist



wieso soll das denn nicht folgen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist eben die Frage, auf welche Form von Potenzreihen sich die Formel für den Konvergenzradius bezieht.
Und bei mir haben die Potenzreihen die Form .
Und dann ist eben a_n etwas anderes, nämlich der Faktor vor dem x^n.

Desweiteren mußt du den betrachten.
Und wenn beispielsweise a_n = n ist, mithin also a_n >= 1, dann ist noch lange nicht .
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe ich in der Formel das stehen:



mist. wie mache ich denn dann weiter?

Wenn das so wäre:



könnte man damit ja prima arbeiten. aber ist ja nicht so.

Wie könnte ich denn weitermachen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn, dann .

Um den Problemen damit aus dem Weg zu gehen, würde ich zur Alternativdefinition des Konvergenzradius greifen.
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du:



also:

chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

wäre das richtig?

ich hab ehrlich gesagt noch nicht ganz verstanden wann ich das benutzen darf.
hab gelesen wenn ab einem bestimmten index alle a_n von 0 verschieden sind.
aber dann dürfte man das ja fast immer nutzen, weil mir gerade ehrlich gesagt kein gegenbeispiel einfällt
gast11111 Auf diesen Beitrag antworten »



geht doch gegen unendlich oder? und damit hat man dann den konvergenzraidus r=0.
weiß nur noch nicht so recht wie man beweist das das gegen unendlich geht, aber so ginge es oder?
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

das ist ja das problem. deshalb frage ich ja ob man die formel



anwenden kann.
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
bei der zweiten würde ich sagen:

, weil

bei der dritten:

, weil man durchs wurzelziehen auf

kommt.

bei der vierten habe ich noch keine idee.
allerdings muss ich das alles noch zeigen. wie mache ich das? ist das überhaupt richtig?
Chickenjoe Auf diesen Beitrag antworten »

Hi! Ich hab mal noch ne Allgemeine Frage dazu! Mein Tutor hat was gesagt, dass man bei der gesammten Nummer das Wurzelkriterium verwenden kann, das verwundert mich etwas, weil ich nicht genau weiß wofür ich das brauche...
Muss ich das Kriterium irgendwie/irgendwo vorher anwenden?

Also bevor ich den Radius berechne?
Thobi Auf diesen Beitrag antworten »

soweit ich das richtig verstanden habe, rechnest du mit dem Wurzelkriterium oder dem Quotientenkriterium das q aus. und R (radius) ist dann 1/q , also z.B bei q=2, ist R=1/2

Ich hoffe ich selber habe das richtig verstanden.nicht das ich hier was falsches behaupte ^^

ach und noch ne frage, ist das richtig:
a) R= 0
b) R= 2/(i+1)² hier bin ich mir total unsicher
c) R= 1/e²
d) hab ich noch nicht smile

? Danke schonmal smile
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

a und c hab ich das selbe raus. weiß nur leider auch nicht ob das stimmt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Zitat:
Original von chrlan
das ist ja das problem. deshalb frage ich ja ob man die formel



anwenden kann.

Ja, das kannst du.

Zitat:
Original von chrlan
bei der zweiten würde ich sagen:

, weil

Das ist keine Begründung. Das mußt du schon ordentlich mit durchrechnen.
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

wann darf man die formel denn benutzen. kann das mal jemand ganz kurz erklären?
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine kurze frage:
wenn ich das mache komme ich auf folgendes:



wie kann ich denn jetzt weiter machen?
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
bei der letzten komme ich auch nicht weiter:



hab das dann vereinfacht:



was man noch weiter vereinfachen konnte:



wie kann ich das weiter vereinfachen?
tut mir leid ist ein bisschen viel auf einmal aber ich hoffe mir kann jemand helfen.Augenzwinkern
panspeter Auf diesen Beitrag antworten »

ist die c nicht einfach 1/e ? und nicht 1/e² ?
Thobi Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe bei der c) 1/e² raus, oder ist es doch 1/e? wie habt ihr das denn gemacht?
panspeter Auf diesen Beitrag antworten »

also
R=
und das ist doch 1/e oder?
Thobi Auf diesen Beitrag antworten »

achso. ja klar, natürlich, ich hatte unten " lim sup (1+1/i)^i² " stehen und nicht "lim sup (1+1/i)^(i²/i) " du hast recht smile

aber was ist denn mit der b) was hast du da raus?
panspeter Auf diesen Beitrag antworten »

garnix bis jez
Chickenjoe Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der b) müsste 4 raus kommen!
Thobi Auf diesen Beitrag antworten »

4? wie kommt man denn da drauf? ich hab da was ganz komisches raus gehabt o.O
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

jemand ne idee für die d)? wie kann ich das weiter vereinfachen?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwo bist du bei der d) aus dem Tritt geraten, d.h. es sind einzelne Faktoren verschwunden. Setzen wir mal hier an:



Dass der zweite Faktor gegen konvergiert, sollte bekannt sein...
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid ich kann dem letzten schritt nicht folgenunglücklich
Chickenjoe Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der b) habe ich mit dem quotientenkriterium angesetzt und zugesehen, dass ich die Fakultäten wegkürzen konnte, war eigentlich keine große Kunst, halt viel mit den Klammern rumspielen, bis es passt, dass man was kürzen kann! Bin auch mit meinem Ergebnis nicht alleine, von daher gehe ich mal davon aus, dass es passt!

z.b. nachdem du den doppelbruch hast und den kehrwert nimmst kommste normal hier raus:



Wenn du jetzt mal die quadrate ausschreibst ( im Sinne: x²=x*x ) kannste oben (i+1) jeweils aus der fakultät als Faktor herausschreiben und dann kannst schon (i !)² raus kürzen. dann einfach mal so weiter machen.
Qwe Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher, dass der Radius 4 und nicht 1/4 ist?
Bin mir selbst nicht sicher, also dies Bitte nicht als Angriff o.ä. verstehen smile .
mfg
Chickenjoe Auf diesen Beitrag antworten »

so wie ich es oben geschrieben habe berechnet man q und das ist 1/4, aber r ist ja 1/q. Dann kommt man auf 4 .
Qwe Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das war mir bewusst, nur wenn ich das gleiche bei dem ersten Teil der Aufgabe mache, hätte ich ja für q=0, dann wäre r ja 1/0.
Das verwirrt mich hier ein wenig^^.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrlan
tut mir leid ich kann dem letzten schritt nicht folgenunglücklich

Wieso nicht? Was ist unklar?
Chickenjoe Auf diesen Beitrag antworten »

Beim ersten Teil der Aufgabe habe ich mit:

also man erhält sofort r

Das ist ja im Prinzip das Quotientenkrit nur sofort der Kehrwert davon.
Wenn das das erst nach dem Quotientenkrit alleine machen würdest käme da doch raus, dass es gegen unendlich läuft und dann wäre 1/q = 1/unendlich und das ist ja Null ( wäre etwas unsauber so)

Falls ich bei dem ganzen Zeug das ich hier verzapfe falsch liege bitte ich darum, das jemand einschreitet :p
sunsurfer428 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Zitat:
Original von chrlan
tut mir leid ich kann dem letzten schritt nicht folgenunglücklich

Wieso nicht? Was ist unklar?


Also wenn's ihm so geht wie mir, dann versteht er folgenden Schritt nicht:

Zitat:
Original von René Gruber


Bis zum ersten Teil der Gleichung bin ich auch alleine gekommen.
Jetzt verschwinden bei dem 2. Teil aber über dem Bruchstrich und darunter in .
Soweit das offensichtliche. Jetzt die Frage: Wie kommst du auf den letzten Teil, hast du da irgendwo eine aktive Null eingefügt oder verstehte/sehe ich einfach grade die einfachsten Regeln nicht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

.

Und der "gemeinsame" Exponent rührt daher, weil vorher entsprechend "erweitert" wurde:

.

Alles banale Sachen, die man mit ein wenig Anstrengung rauskriegen sollte.
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