Konvergenzradien von Potenzreihen - Seite 2

07.12.2011, 20:53

Thobi

also ich hab jetzt rumprobiert, aber komme immernoch nicht auf 4 -.-

wo ist mein fehler?
$\begin{eqnarray*} (((i+1)!)²*(2i)!)/((2*(i+1))!*(i!)²) = ((i+1)!*(i+1)!*(2i)!)/((2i+2)!*(i!)²) = ((i!+1!)*(i!+1!)*(2i)!)/((2i)!+2!*(i!)²) = ((i!)²+(2i)!+(1!)²*(2i)!)/((2i)!+2!*(i!)²) = ((1!)²*(2i)!)/(2!) \end{eqnarray*}$

hab bestimmt irgendwo nen denkfehler o.O seh den aber selber irgendwie nicht unglücklich

07.12.2011, 22:07

Chickenjoe

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Zitat:

Original von Thobi

wo ist mein fehler?
$\begin{eqnarray*} (((i+1)!)²*(2i)!)/((2*(i+1))!*(i!)²) = ((i+1)!*(i+1)!*(2i)!)/((2i+2)!*(i!)²) = ((i!+1!)*(i!+1!)*(2i)!)/((2i)!+2!*(i!)²) = ((i!)²+(2i)!+(1!)²*(2i)!)/((2i)!+2!*(i!)²) = ((1!)²*(2i)!)/(2!) \end{eqnarray*}$

hab bestimmt irgendwo nen denkfehler o.O seh den aber selber irgendwie nicht unglücklich

So wie ich das sehe stimmt da vom 2ten zum 3ten schritt schon mal was nicht...

der 3te müsste so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(i+1\right)*i!*\left(i+1\right)*i!*\left(2i\right)! }{\left(2\left(i+1\right) \right)!*i!*i!} \end{eqnarray*}$
du kannst ja oben das i+1 aus (i+1)! rausziehen und dann bleibt halt noch (i+1)*i!. Ist ja das Gleiche

08.12.2011, 09:00

chrlan

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Zitat:

Original von sunsurfer428

Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von chrlan
tut mir leid ich kann dem letzten schritt nicht folgen unglücklich

Wieso nicht? Was ist unklar?

Also wenn's ihm so geht wie mir, dann versteht er folgenden Schritt nicht:

Zitat:

Original von René Gruber
$\begin{eqnarray*} \lim_{i\to\infty} \frac{4(2i-1)^{2i-1}\cdot (2i+1)(2i+2)}{(2i+1)^{2i+1}} =\lim_{i\to\infty} \frac{4(2i+1)(2i+2)}{(2i-1)^2} \cdot \left( 1 - \frac{2}{2i+1} \right)^{2i+1} \end{eqnarray*}$

Bis zum ersten Teil der Gleichung bin ich auch alleine gekommen.
Jetzt verschwinden bei dem 2. Teil aber $\begin{eqnarray*} (2i-1)^{2i-1} \end{eqnarray*}$ über dem Bruchstrich und $\begin{eqnarray*} (2i+1)^{2i+1} \end{eqnarray*}$ darunter in $\begin{eqnarray*} \left( 1 - \frac{2}{2i+1} \right)^{2i+1} \end{eqnarray*}$ .
Soweit das offensichtliche. Jetzt die Frage: Wie kommst du auf den letzten Teil, hast du da irgendwo eine aktive Null eingefügt oder verstehte/sehe ich einfach grade die einfachsten Regeln nicht?

ging mir genauso. das war der schritt den ich nicht verstanden hatte.
danke HAL 9000. habs jetzt verstanden. also kommt als konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \frac{4}{e^2} \end{eqnarray*}$ raus.

08.12.2011, 11:08

Thobi

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Hat denn einer eine Idee zu der b) der Aufgabe, also die "richtige" b) und nicht die a)b) ? hab mich daran versucht, aber bis jetzt ist nichts wirklich bei rausgekommen.

08.12.2011, 13:13

sunsurfer428

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Zitat:

Original von Chickenjoe

der 3te müsste so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(i+1\right)*i!*\left(i+1\right)*i!*\left(2i\right)! }{\left(2\left(i+1\right) \right)!*i!*i!} \end{eqnarray*}$
du kannst ja oben das i+1 aus (i+1)! rausziehen und dann bleibt halt noch (i+1)*i!. Ist ja das Gleiche

Wieso hast du $\begin{eqnarray*} (i+1)! \end{eqnarray*}$ über dem Bruchstrich stehen?
Es heißt doch: $\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ , heißt hier ( $\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ mal außen vor gelassen):

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{\frac{(i!)^2}{(2i)!}}{\frac{((i+1)!)^2}{(2i+2)!}}\right|= \frac{(i!)^2}{(2i)!}*{\frac{(2i+2)!}{((i+1)!)^2}} \end{eqnarray*}$ oder lieg ich da völlig falsch?

08.12.2011, 15:30

nizo

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Hat irgendjemand die b) schon hinbekommen?? Ich weiß wie mans evtl. durch integrieren lösen könnte, aber das dürfen wir ja noch nicht smile

... Hab den Tipp bekommen, es über das Cauchyprodukt zu machen, aber ich finde überhaupt keinen Ansatz unglücklich

...
Irgendjemand 'ne Idee?

08.12.2011, 16:22

Chickenjoe

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Zitat:

Original von sunsurfer428
Wieso hast du $\begin{eqnarray*} (i+1)! \end{eqnarray*}$ über dem Bruchstrich stehen?
Es heißt doch: $\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ , heißt hier ( $\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ mal außen vor gelassen):

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{\frac{(i!)^2}{(2i)!}}{\frac{((i+1)!)^2}{(2i+2)!}}\right|= \frac{(i!)^2}{(2i)!}*{\frac{(2i+2)!}{((i+1)!)^2}} \end{eqnarray*}$ oder lieg ich da völlig falsch?

Nein, du hast vollkommen Recht, ich habs halt noch andersrum um q zu berechnen und dann hinterher in r=1/q eingesetzt, hätte das auch vorher machen können, dann wären Zählern und Nenner so wie du sie geschrieben hast! Ist eigentlich egal was man zuerst macht.

08.12.2011, 17:52

Thobi

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Hat denn keiner ne idee zur b)? unglücklich

08.12.2011, 17:56

Ungewiss

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Schreib den Ausdruck rechts als Produkt zweier Reihen und verwende die Formel fürs Cauchy-Produkt.

08.12.2011, 18:32

Thobi

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also:

an=bn= (summe n=0 bis unendlich) 1/(1-x)²

cn= (summe n=0 bis x) an*bn = 1/(1-n)² * 1/(1-x-n)² = (1/1-2n-n²) *(1/1-2xn-n²

ist das so die richtige richtung, oder mach ich da jetzt schon nen fehler? und wie mach ich dann weiter?

08.12.2011, 20:32

nizo

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matheboard.de/archive/48375/thread.html

das sollte helfen Augenzwinkern

... muss es mir aber grad auch nochmal genauer durchlesen (verstehen und so...). Wollts nur noch schnell mal hier reinwerfen...

08.12.2011, 21:07

maths_1

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also ich habe bei der 2ten reihe von a das quotientenkriterium angewendet.

$\begin{eqnarray*} r < \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

es folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} = \lim_{i \to \infty } \frac{(i!)^2}{(2i)!}*{\frac{(2i+2)!}{((i+1)!)^2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{i \to \infty } \frac{(2i+1)(2i+2)}{(i+1^2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{i \to \infty } \frac{(4i^2+6i+2)}{(i+1^2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{i \to \infty } \frac{(i^2+2i+1)+(i^2+2i+1)+(i^2+2i+1)+i^2-1}{(i+1^2)} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \lim_{i \to \infty } 1+1+1 \frac{(i-1)(i+1)}{(i+1^2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{i \to \infty } 1+1+1 \frac{(i-1)}{(i+1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{a \to \infty } 1+1+1+ \frac{(1-\frac{1}{i})}{(1+\frac{1}{i})}=4 \end{eqnarray*}$

somit ist r < 4 bzw. für x<4 konvergiert die reihe

stimmt das? kann das jemand bestätigen verwirrt

08.12.2011, 21:17

nizo

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Ergebnis ist glaube richtig, aber du hast dich beim rechnen im Nenner vertan...

$\begin{eqnarray*} \frac{4i^2 + 6i + 2}{(i+1)^2} = \frac{4 + 6i + 2}{i^2 + 2i + 1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{4 + \frac{6}{i} + \frac{2}{i^2}}{1 + \frac{2}{i} + \frac{1}{i^2}} \end{eqnarray*}$

Und das geht ja, wie man sieht gegen unendlich Augenzwinkern

...

08.12.2011, 21:20

nizo

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Ogott... das muss an der Uhrzeit liegen... Es geht gegen -> 4 <- Big Laugh

Und bei dem 2. Term hab ich noch ein $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ verschluckt...

08.12.2011, 21:30

maths_1

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oh stimmt, misst hätte ich kontrollieren müssen Hammer

hab da einige klammer fehler drin und "+" fehlen auch. scheint wohl wirklich an der uhrzeit zu liegen (kann das ein mod evtl beheben?).

also ist r=4 und x<4 damit das ganze divergiert.

alles klar danke dir Tanzen

muss jetzt die letzten beiden noch rechnen.

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