Direkte Summe Vektorräume

05.12.2011, 12:57	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkte Summe Vektorräume Guten Tag allerseits, ich arbeite gerade an einer Aufgabe, mit der ich einfach nicht zurecht komme: Es seien $\begin{eqnarray} W_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W_{2} \end{eqnarray}$ Unterräume eines Vektorraumes $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ über einem Körper K so, dass $\begin{eqnarray} W_{1}+w_{2} = V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W_{1} \cap W_{2} = \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Zu jedem $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ existieren eindeutig bestimmte $\begin{eqnarray} v_{1} \in W_{1}, v_{2} \in W_{2} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} v = v_{1}+v_{2} \end{eqnarray}$ Ich habe mir gedacht, dass ich das irgendwie mit 2 Basen zeigen könnte. Eine Basis von W1 und eine von W2
05.12.2011, 13:08	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zwei Sachverhalte beweisen: Existenz und Eindeutigkeit von $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \end{eqnarray}$ . Die Existenz kannst Du schonmal direkt sehen, wenn Du Dir die Voraussetzungen nochmal anguckst, und zwar wie?
05.12.2011, 13:31	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch $\begin{eqnarray} W_{1}+W_{2}=V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => v_{1} \in W_{1}, v_{2} \in W_{2}: v_{1}+v_{2}=V \end{eqnarray}$ ???
05.12.2011, 13:36	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Bzw. anders dargestellt: $\begin{eqnarray} W_{1}+W_{2} = \left\{ v \| v = v_{1}+v_{2}: v_{1} \in W_{1}, v_{2} \in W_{2} \right\}=V \end{eqnarray}$

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