folgenkompaktheit

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martinio Auf diesen Beitrag antworten »
folgenkompaktheit
Sali,

eine neue Aufgabe: Zeige, dass die Menge M X kompakt ist.

Voraussetzung:

metrischer Raum





ist eine konvergente Folge



Behauptung:

Die Menge M ist kompakt.

Beweis:

Habe mir folgenden Ansatz überlegt:
per Defnition:

Zitat:
Seien (X,d) ein metirischer Raum und eine beliebige Teilmenge. M nennt man folgenkompakt , wenn jede Folge in M eine konvergente Teilfolge in M besitzt, d.h. wenn der Grenzwert in K liegt


Möglicherweise wäre es einfach, wenn der gegebene Grenzwert in M liegen würde.... oder tut er dies durch die Definition M :

Andere Idee wäre, da jeder Häufungspunkt einer Teilfolge auch Häufungspunkt der Ausgangsfolge ist , mit Häufungspunkt = Grenzwert für metrische Räumen. Der Grenzwert ist eindeutig und ist auch der einzige Häufungspunkt... damit könne man dann die konvergenz gegen diesen Grenzwert zeigen --> konvergent & Grenzwert in M = kompakt.

Wäre nett, wenn sich jemand dazu äußern könnte.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
RE: folgenkompaktheit
Zitat:
Original von martinio
Möglicherweise wäre es einfach, wenn der gegebene Grenzwert in M liegen würde.... oder tut er dies durch die Definition M :

Da steht doch explizit, dass x in M liegen soll.
Eine Menge, die durch Vereinigung von Mengen entsteht, enthält genau alle Elemente, die in einer der vereinigten Mengen liegen.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »
RE: folgenkompaktheit
okay.... der grenzwert liegt in M. Wäre ich nicht dann schon fertig per Definition:

Zitat:
Seien (X,d) ein metirischer Raum und eine beliebige Teilmenge. M nennt man folgenkompakt , wenn jede Folge in M eine konvergente Teilfolge in M besitzt, d.h. wenn der Grenzwert in M liegt
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es ist jetzt nicht schwer, aber wenn die Aufgabe ist zu beweisen, dass der Raum folgenkompakt ist, reicht es wohl kaum als Lösung nur zu sagen 'ich bin per Def. schon fertig'. Augenzwinkern
Also warum genau hat denn jede Folge mit eine konvergente Teilfolge?
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

nehmen wir jetzt mal die folge:

ist konvergente , dann kann ich beliebig viele Teilfolgen finden, wie z.b.

=

=

...

der grund ist meiner erachtens der, ich weiß , dass meine Ausgangsfolge konvergiert.... zusammengefasst bilden alle Elemente dieser Folge eine Menge, was man eigentlich tut : man lässt per Bildgunsgesetz z.b. 2k , 2k-1 , 5k-10 systematisch folgenglieder aus, sodass nur noch eine teilmengenbeziehung vorherrscht. dennoch konvergieren die teilfolgen gegen den grenzwert , in diesem fall , da n unbeschränkt.

Okay und was wäre dann zu tun?
Saskiaa Auf diesen Beitrag antworten »

Würde es nicht reichen zu sagen die Folge ist beschränkt, da konvergent.
x:= lim xn ist der Grenzwert, also HP von xn. M ist also die Folge vereinigt mit HP, also abgeschlossen. Und in einem metrischen Raum ist eine beschränkte abgeschlossene Menge kompakt.

Geht das so?
Grüße
 
 
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Saskiaa
Und in einem metrischen Raum ist eine beschränkte abgeschlossene Menge kompakt.


Nein, das stimmt nicht. Das geht in beliebigen metrischen Räumen eben nicht.

@martinio: Das was du machst ist auch noch nicht richtig. Du musst dir eine Folge aus der Menge nehmen, das muss dann keine Teilfolge der Ursprungsfolge sein.

Am einfachsten ist hier aber meiner Meiner nach die Definition von Kompaktheit zu nehmen.
Saskiaa Auf diesen Beitrag antworten »

Also zeigen das zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung existiert. Aber wie kann man hier für eine beliebige offene Überdeckung von M zeigen, dass diese sich durch eine endliche Teilüberdeckung überdecken lässt?
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Fang mal so an: In jeder Überdeckung von M muss insbesondere x überdeckt werden. Was überdeckt das offene , dass x enthält, denn noch alles von M?
Saskiaa Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, wenn es x überdeckt und x der Grenzwert ist überdeckt es ab einem bestimmten n alle Folgeglieder? Willst du darauf hinaus oder bin ich falsch? smile
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martinio
Okay und was wäre dann zu tun?

Mach es dir nicht so kompliziert. Die Folge besteht doch aus Elemente, die entweder Folgenglieder der Folge oder gleich sind, wobei natürlich auch Folgenglieder mehrfach auftreten können. Falls unendlich oft das Folgenglied vorkommt, sollte das mit der konvergenten Teilfolge klar sein. Sonst.. jetzt bist du dran.
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Saskiaa
Hmm, wenn es x überdeckt und x der Grenzwert ist überdeckt es ab einem bestimmten n alle Folgeglieder? Willst du darauf hinaus oder bin ich falsch? smile



Damit bist du doch schon fast fertig. Du hast mit einer Menge alle bis auf endlich viele Folgenglieder überdeckt. Wieso findest du jetzt eine endliche Teilüberdeckung?
Saskiaa Auf diesen Beitrag antworten »

weil sich endlich viele Folgeglieder (die es noch zu überdecken gilt) auf jeden Fall durch endlich viele Teilmengen überdecken lassen? oder kann man das so nich sagen?
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

bin bisschen konfused, iwie vermischen sich die themen von saskia und mir Big Laugh und der eine sagt mein lsgw. geht , der andere nicht... naja machen wir mal weiter... also mit der folge

mit ist mir soweit klar... , aber wovon ist diese denn jetzt teilfolge ? von ?

und dann wäre ich doch schon fertig, falls dem so wäre , oder ?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martinio
bin bisschen konfused, iwie vermischen sich die themen von saskia und mir Big Laugh und der eine sagt mein lsgw. geht , der andere nicht

Niemand sagt, dass dein Ansatz nicht geht. Gastmathematiker meinte nur, dass er einen anderen bevorzugen würde. Ich sehe keinen großen Unterschied in der Schwierigkeit, das ist vielleicht Geschmackssache. Jedenfalls führt dein Ansatz auch zum Ziel.

Zitat:
... naja machen wir mal weiter... also mit der folge

mit ist mir soweit klar... , aber wovon ist diese denn jetzt teilfolge ? von ?

und dann wäre ich doch schon fertig, falls dem so wäre , oder ?

Folgenkompaktheit heißt, dass für eine Folge von Elementen in dem betrachteten Raum (hier M) eine (in M) konvergente Teilfolge existiert. Wir haben also eine allgemeine Folge zu betrachten, deren Folgenglieder alle irgendwelche Elemente der Menge M sind.
Zum Beispiel könnte eine solche Folge so aussehen
Eine andere könnte sein oder wie auch immer. Völlig beliebig, solange alle Folgenglieder von der genannten Form sind.
Hast du jetzt zumindest die Definition verstanden?
Saskiaa Auf diesen Beitrag antworten »

Bin ich denn mit meinem Lösungsversuch am Ziel?

Also das eine offene Überdeckung von M insbesondere x überdeckt und daher ab einem bestimmten n0 alle Folgeglieder durch diese Teilmenge überdeckt werden und es nun nurnoch endlich viele Folgeglieder zu überdecken gibt, was bedeutet das es eine endliche Teilüberdeckung gibt.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

jup habe ich,

mit ist dann eine solche folge.
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Saskiaa
Bin ich denn mit meinem Lösungsversuch am Ziel?

Also das eine offene Überdeckung von M insbesondere x überdeckt und daher ab einem bestimmten n0 alle Folgeglieder durch diese Teilmenge überdeckt werden und es nun nurnoch endlich viele Folgeglieder zu überdecken gibt, was bedeutet das es eine endliche Teilüberdeckung gibt.



Ja, das ist es. Das jetzt noch richtig aufschreiben und du bist fertig.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martinio
jup habe ich,

mit ist dann eine solche folge.

Na dann versuch doch mal mit dem Beweisansatz von oben weiterzukommen.
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