Faltung von rect und tri

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utpscoxx Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung von rect und tri
Meine Frage:
Moin!

Ich soll folgende Faltung berechnen bzw. anschließend zeichen:

f= , g= mit

Das Problem an sich liegt in der tri Frunktion. Ich weiß nicht wie ich das ganze integrieren soll.
, ds obere Grenze t+b, untere -a

Weil dies der Ort ist, wo das Dreieck das erste mal das Rechteck schneidet( wenn ich das Dreieck von rechts verschiebe).

Ich komme da einfach nicht auf eine Funktion die passen würde.
-> rect integriert ergibt 1;

Was nehme ich bei tri? 0,5? Kann ja meiner Meinung nicht sein, da ja was quadratisches raus kommen muss.





Meine Ideen:
Anderer Ansatz ich nehme für tri die Funktion (1-s) jedoch komme ich immer nur auf kappes.


Wäre super, wenn jemand helfen kann.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo utpscoxx,
mein Vorschlag:
1.) Eine anschauliche Vorstellung entwickeln, was Falten bedeutet.
2.) Die verschiedenen Verschiebungslagen aufzeichnen und zwar so viele, wie verschiedene Ansätze für das Funktionsprodukt nötig sind und für jeden Fall das Integral separat ausrechnen. Die Lösung besteht dann im Zusammenflicken der Abschnittslösungen.

Oder sollst Du das mit Reihenentwicklung bearbeiten?
utpscoxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mir schon klar, was eine Faltung macht. Und gezeichnet habe ich die einzelnen Abschnitte auch.

Mein Problem liegt darin, das Integral davon zu lösen, wenn sich das Dreieck mit dem Rechteck schneidet.

Ich habe im Integral durch die Faltung die Multiplikation von f(s) (Rechteck) und g(t-s) (Dreieck) stehen .. die Rechteckfunktion integriert ist 1 , da ich die Fläche als 1 definiere. Das Problem ist die Dreieckfunktion.

Ist hier die Fläche
-0,5 ?
-die Gerade Integriert ? (am ersten Bsp. s-1)

Da ich weiß, wie die Faltung funktioniert, muss ja etwas quadratisches rauskommen, damit würde Lösungvorschlag 1 wegfallen.(also quadratisch wirds, nur nicht zu gebrauchen)
Lösungsvorschlag 2 bringt mich aber auch nur bedingt weiter, da ich was quadratisches erhalte, jedoch etwas falsches. (Habs geplottet)
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Das gesuchte Faltungsintegral ist die Funktion
.
Dabei ist schon die Geradheit von benutzt. Die Grenzen liegen allgemein im Unendlichen. Vor dem Integrieren betrachtest Du das Funktionsprodukt und rechnest es -abschnittsweise aus. Und diese abschnittsweise gültigen Produktfunktionen kannst Du dann in den jeweiligen Grenzen integrieren. Mehr als das Integral einer linearen Funktion brauchst Du dazu nicht.

Das A und O der Lösung sind die verschiedenen Analysis-Figuren, aus denen Du die jeweilige Lage der Faktorfunktionen und die jeweiligen Integrationsgrenzen entnehmen kannst.

Falls Du mit dem Vorgehen für eine bestimmte Verschiebung Probleme hast, poste die entsprechende Zeichnung mit den drei Funktionen von .

Noch ein (vielleicht überflüssiger) Tipp:
für
utpscoxx Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt meine Lösung. Ich finde es irgendwie verwirrend noch zwischen a und b unterscheiden zu müssen. Jedoch muss ich das glaube ich , da a>=b.

Ich hoffe man kann es lesen. Ist das jetzt so richtig? Der Verlauf scheint ja an sich ok, nur bin ich der Meinung, dass es nicht so stark ansteigen dürfte.

http://imageshack.us/photo/my-images/15/unbenanntzkl.jpg/

In der Lösung müsste es übrigens +1/2a² sein.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Für den abgebildeten Fall ist der Überlappungbereich a+b-t breit. Außerhalb ist das Funktionenprodukt gleich null. Der Wert des Faltungsintegrals ist also gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks mit der Grundlinie a+b-t und der leicht auszurechnenden Höhe, die auch von t abhängt. Bei weiterer Verschiebung von tri nach rechts (Verkleinerung von t) gilt die Lösung solange, bis der tri-Scheitel bei s=-a ankommt. Dann ist der nächste Fall erreicht.
Kurz: Die t-intervallgrenzen liegen bei -a-b, -a, und a-b. Darüber hinaus kann man mit der Geradheit der Funktionen argumentieren.
 
 
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