(zentrale) Momente

05.12.2011, 18:20	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
(zentrale) Momente Meine Frage: Zeige, daß die folgenden Behauptungen über den Zusammenhang zwischen den zentralen und den nicht-zentralen Momenten gelten: (a) $\begin{eqnarray} \mu_k(F)=E\left((X-\mu)^k\right)=\sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{k}{j}\mu^j\cdot \mu_{k-j}'(F) \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} \mu_k'(F)=E\left(X^k\right)=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}\mu^j\cdot \mu_{k-j}(F) \end{eqnarray}$ (c) Berechne $\begin{eqnarray} \mu_2(F) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu_3(F) \end{eqnarray}$ unter Anwendung der obigen Behauptungen. Meine Ideen: (a) Ich hab' bis jetzt nur eingesetzt und ein bisschen umgeformt... $\begin{eqnarray} \sum_{j=0}^{k}[(-1)^j\binom{k}{j}\mu^j\cdot \mu_{k-j}'(F)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum_{j=0}^{k}[(-1)^j\binom{k}{j}E(X)^j\cdot E(X^{k-j})] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum_{j=0}^{k}[(-1)^j\binom{k}{j}E(E(X)^j\cdot X^{k-j})] \end{eqnarray}$ So richtig weiter bringt mich das aber nicht...
05.12.2011, 18:35	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (zentrale) Momente Achso: Soll man das vllt. per vollständiger Induktion zeigen?
05.12.2011, 19:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (zentrale) Momente Nochmal ich... Ein bisschen Nachdenken hat mich auf Folgendes gebracht: Ich glaube, das folgt einfach aus dem binomischen Lehrsatz, kann das sein? $\begin{eqnarray} (X-\mu)^k=(X+(-\mu))^k=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}X^{k-j}(-\mu)^{j} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}X^{k-j}(-1)^j\mu^j \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} E((X-\mu)^k)=E\left(\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}X^{k-j}(-1)^j\mu^j\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum_{j=0}^{k}E\left((-1)^j\binom{k}{j}\mu^j\cdot X^{k-j}\right)=\sum_{j=0}^{k}(-1)^j\binom{k}{j}\mu^jE(X^{k-j}) \end{eqnarray}$ So, das wäre meiner Meinung nach (a). Korrekt?

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