Std-Cauchyverteilung, Erwartungswert

05.12.2011, 19:04

_Kevin_

Std-Cauchyverteilung, Erwartungswert

Hallo, ich möchte zeigen, dass der Erwartungswert der Standardcauchyverteilung nicht existiert.

Ich habe folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\pi(x^2+1)} \end{eqnarray*}$ ist die Dichte.

$\begin{eqnarray*} \mu (A) := \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_A f(x) d\lambda \end{eqnarray*}$ bezeichne das Maß mit der Dichte f.

F bezeichne die Verteilungsfunktion zu f:

$\begin{eqnarray*} F(x) := \mu ((-\infty, x]) = \int_{-\infty}^{x} f(x) dx = \frac{1}{2} + \frac{arctan(x)}{\pi} \end{eqnarray*}$ , falls ich mich nicht verrechnet habe.

Jetzt kommt der Teil, an dem ich mir nicht sicher bin:

Gilt $\begin{eqnarray*} \int F d\mu = \int_{\mathbb{R}} F\cdot f d\lambda \end{eqnarray*}$ ?
Wenn ja, kommt bei mir beim Integrieren $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ heraus, also das Integral existiert, habe ich auch mit Maple überprüfen lassen, um eventuelle Rechenfehler auszuschließen.

Wo liegt mein Denkfehler?

Gruß
Kevin

06.12.2011, 11:28

dinzeoo

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RE: Std-Cauchyverteilung, Erwartungswert

Zitat:

Original von _Kevin_
Gilt $\begin{eqnarray*} \int F d\mu = \int_{\mathbb{R}} F\cdot f d\lambda \end{eqnarray*}$ ?

das passt.

Zitat:

Wo liegt mein Denkfehler?

$\begin{eqnarray*} \int F d\mu \end{eqnarray*}$ ist nicht der erwartungswert...

06.12.2011, 15:50

_Kevin_

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Danke für Deine Antwort. Bin jetzt auf folgende Formel gestoßen:

$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb{R} xf(x) d\lambda \end{eqnarray*}$

Aber die haben wir weder aufgeschrieben noch sollten wir die beweisen... wie kommt man darauf?

06.12.2011, 16:22

dinzeoo

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die formel passt. viel zu beweisen gibt es da nicht. irgendwie müsst ihr ja den erwartungswert definiert haben und jenachdem wie allgmein ihr ihn definiert habt musst du es auf die formel umformen.

ganz allgmein wird er so definiert:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int XdP \end{eqnarray*}$

wenn das maß P eine dichte f besitzt dann folgt daraus mit paar umformungen(transformationsformel) deine formel.

06.12.2011, 17:54

_Kevin_

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Irgendwie habe ich das ganze noch nicht durchdrungen. Mir ist klar, wie das daraus folgt, wenn ich als Zufallsvariable einfach die Funktion $\begin{eqnarray*} Y: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2 \end{eqnarray*}$ einfach als x setzen kann. Ich mein, wir haben die Verteilungsfunktion als $\begin{eqnarray*} Y(P(\mu((-\infty, x]))) \end{eqnarray*}$ definiert, aber rechnen tun wir eigentlich immer nur mit $\begin{eqnarray*} Y \equiv x \end{eqnarray*}$ , wenn ich das recht verstehe.

Stehe noch leicht auf dem Schlauch, auch wenn mir Deine Antworten bereits weitergeholfen haben.

06.12.2011, 20:42

dinzeoo

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Zitat:

Original von _Kevin_
Irgendwie habe ich das ganze noch nicht durchdrungen. Mir ist klar, wie das daraus folgt, wenn ich als Zufallsvariable einfach die Funktion $\begin{eqnarray*} Y: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2 \end{eqnarray*}$ einfach als x setzen kann. Ich mein, wir haben die Verteilungsfunktion als $\begin{eqnarray*} Y(P(\mu((-\infty, x]))) \end{eqnarray*}$ definiert, aber rechnen tun wir eigentlich immer nur mit $\begin{eqnarray*} Y \equiv x \end{eqnarray*}$ , wenn ich das recht verstehe.

da verstehst du etwas falsch. alles was du gerade geschrieben hast solltest du ganz schnell wieder vergessen/verdrängen.

es wäre hilfreicher gewesen wenn du mal eure definition vom erwartungswert angeschrieben hättest. aber wie ich schon sagte, die standarddefintion in der maßtheorie/wtheorie ist folgende:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int XdP \end{eqnarray*}$

auf deine aufgabenstellung bezogen gilt: die zufallsvariable X ist cauchy verteilt. da die verteilung stetig ist mit dichte f schreibt man auch $\begin{eqnarray*} dP^X=fd\lambda \end{eqnarray*}$ . (kann sein das ihr eine andere notation verwendet). $\begin{eqnarray*} P^X \end{eqnarray*}$ ist übrigens das bildmaß. zurück zum erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int XdP=\int x \circ X dP=\int xdP^X=\int xfd\lambda=\int x f(x)dx \end{eqnarray*}$

erste gleichheitszeichen ist die definition,
zweite ist klar( hab ansich nix verändert)
dritte transformationssatz
vierte irgend ein satz(kein plan wie der heisst), hab letztens noch nen beweisansatz gegeben siehe matheboard.de/thread.php?threadid=475849
fünfte auch klar (lebesgue und riemann stimmen hier überein).

naja lange rede kurzer sinn... falls du eine stetige verteilung hast (also eine dichte vorhanden ist) kannst für den erwartungswert direkt die rechte formel anwenden.

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