PI/4 auf 4 Stellen genau berechnen

05.12.2011, 20:07	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
PI/4 auf 4 Stellen genau berechnen Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiterkomme: "Schätzen Sie ab, wie viele Glieder mindestens summiert werden müssen, wenn $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} \end{eqnarray}$ auf vier Stellen genau zu berechnen ist." In meinem Skript gibt es eine Definition: "Die Näherung p* stimmt mit p auf t Ziffern überein, falls t die größte nichtnegative ganze Zahl ist, für die gilt $\begin{eqnarray} \frac{\|p-p^\|}{\|p\|} < 5 * 10^{-t} \end{eqnarray}$ " Hmm, mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{\|(\pi / 4)-Sn\|}{(\pi / 4)} < 5 * 10^{-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|(\pi / 4)-Sn\| < (\pi / 4) * 5 * 10^{-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Sn < (\pi / 4) * 5 * 10^{-4} - (\pi / 4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2k-1} < (\pi / 4) * 5 * 10^{-4} - (\pi / 4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2k-1 > \frac{4}{5 \pi} * 10^{4} - \frac{4}{\pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k > \frac{ \frac{4}{5 \pi} * 10^{4} - \frac{4}{\pi} + 1}{2} \end{eqnarray*}$ k > 1273,10 Soll das heißen, dass nach 1274 (aufgerundet) Iterationen 4 Stellen mit PI/4 übereinstimmen? Danke im Voraus! Liebe Grüße MatheKind
05.12.2011, 21:19	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe meine Lösung überarbeitet: $\begin{eqnarray} \frac{\|(\pi / 4)-Sn\|}{(\pi / 4)} < 5 10^{-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\frac{\pi}{4}-Sn\| < \frac{5 \pi}{4} * 10^{-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Sn <\frac{5 \pi}{4} * 10^{-4} - \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} -\frac{5 \pi}{4} * 10^{-4} < Sn <\frac{5 \pi}{4} * 10^{-4} - \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} -\frac{5 \pi}{4} * 10^{-4} < \frac{1}{2k-1} <\frac{5 \pi}{4} * 10^{-4} - \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{4}{\pi} - \frac{4}{5 \pi} * 10^{4} > 2k-1 > \frac{4}{5 \pi} * 10^{4} - \frac{4}{\pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{ \frac{4}{\pi} - \frac{4}{5 \pi} * 10^{4} + 1}{2} > k > \frac{ \frac{4}{5 \pi} * 10^{4} - \frac{4}{\pi} + 1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|-1272.10\| > k > 1273,10 \end{eqnarray*}$
06.12.2011, 01:36	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ersetzt du Sn einfach plotzlich durch den k-ten Summanden? Schau mal das Leibnitzkriterium an, neben der Konvergenzaussage wird auch häufig eine Abschätzung für den Reihenrest gegeben.
06.12.2011, 20:23	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, der Rest ist: Nebenrechnung: $\begin{eqnarray} R_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} - \frac\pi4 = -\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{\|(\pi / 4)-Sn\|}{(\pi / 4)} < 5 10^{-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\frac{\pi}{4}-Sn\| < \frac{5 \pi}{4} * 10^{-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} <\frac{5 \pi}{4} * 10^{-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{2k-1}{(-1)^{k+1}} > \frac{4}{5 \pi} * 10^{4} \end{eqnarray*}$ Und nun? Mein Problem ist, dass ich scheinbar die Reihe nicht auflösen kann. Mein Ziel ist ja nach k aufzulösen. Wie schaffe ich das bei einer Reihe?! Danke im Voraus! Liebe Grüße MatheKind

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