Grenzwert einer euklidischen Norm + rätselhafter Hinweis

05.12.2011, 20:12	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer euklidischen Norm + rätselhafter Hinweis Hi Leute Ich hab ein Problem bei folgender Aufgabe: Ist $\begin{eqnarray} \left(a_{n} \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb C^{m} \end{eqnarray}$ , so ist auch die Folge $\begin{eqnarray} \left(\|\|a_{n} \|\| \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ ihrer euklidischen Normen konvergent mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \|\|a_{n} \|\|= \|\|\lim_{n \to \infty }a_{n} \|\| \end{eqnarray}$ Das komische an der Aufgabe ist der Hinweis dazu: Dreiecksungleichung. Ich hab vieles auprobiert, aber nirgends konnte ich die Dreiecksungleichnung miteinbringen? Hat da Jemand einen vernünftigen Ansatz? mfg natural
05.12.2011, 20:26	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wie sollte man es ohne DUNGL machen? (edit: Indem man feststellt, dass \|\|.\|\| als Verknüpfung der Wurzelfunktion mit einem Polynom stetig ist, aber das sollte hier wohl nicht getan werden) Man muss ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|\ \|\|a_n\|\|-\|\|a\|\|\ \| \end{eqnarray}$ klein wird (wenn a der Grenzwert der $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist).
05.12.2011, 20:51	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm ok du willst mir sagen das ich geschickt abschätzen soll anhand der D-Gleichung Ok ich schätz nichtgerade das erste mal an der Aufgabe ab, aber ich versuche es nochmal. Gib mir 10 min bitte und ich meld mich dann wieder!
05.12.2011, 21:08	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Ansatz wäre: $\begin{eqnarray} \| \| a_{n} - a \| \| \leq \| \| a_{n} \| \| -\| \| a \| \| \end{eqnarray}$ wobei ja $\begin{eqnarray} \| a_{n} - a \| \end{eqnarray}$ auch konvergiert. Vielleicht tue ich mich viel zu schwer dafür?
05.12.2011, 21:10	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß jetzt auch nicht wie ich schlussfolgern soll ,wenn $\begin{eqnarray} \| a_{n} - a \| \end{eqnarray}$ konvergiert das auch $\begin{eqnarray} \|\ \|\|a_n\|\|-\|\|a\|\|\ \| \end{eqnarray}$ konvergiert? Ich meine wie bringe ich sie in einem zusammenhang?
05.12.2011, 21:16	natural	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich allgemein sagen das $\begin{eqnarray} \| a_{n} \| \leq \| \| a_{n} \| \| \end{eqnarray}$ wenn ja dann fällt mir ein brauchbarer Ansatz ein!
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05.12.2011, 21:40	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist doch $\begin{eqnarray} a_n\in\mathbb{C}^n. \end{eqnarray}$ Was sollte dann $\begin{eqnarray} \|a_n\| \end{eqnarray}$ sein? Vielleicht kennst du die "Dreiecksungleichung mit Minus" nicht. $\begin{eqnarray} \|x-y\|\geq \|x\|-\|y\| \end{eqnarray}$ gilt allgemein. Das ist einfach die normale Dreiecksungleichung auf (x-y) und y angewendet: $\begin{eqnarray} \|x\|=\|x-y+y\|\leq \|x-y\|+\|y\| \end{eqnarray}$ Das musst du jetzt nur bei $\begin{eqnarray} \|\|a_n\|\|-\|\|a\|\| \end{eqnarray}$ anwenden.

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