Kein Eigenvektor zum Eigenwert?

05.12.2011, 23:12

mwinter

Kein Eigenvektor zum Eigenwert?

Nabend zusammen,

wollte gerade die Eigenvektoren von der Matrix M berechnen.

$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zunächst erhielt ich durch $\begin{eqnarray*} det(M-\lambda E) = 0 \end{eqnarray*}$ folgende Eigenwerte:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 2 \end{eqnarray*}$ -> doppelt
$\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 6 \end{eqnarray*}$

Nun setzte ich zur Berechnung des Eigenvektors zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 2 \end{eqnarray*}$ diesen in die Gleichung $\begin{eqnarray*} M \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x} \end{eqnarray*}$ ein und erhielt schließlich folgendes LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Was genau sagt mir das? Oder habe ich bereits einen grundlegenden Fehler gemacht und stehe völlig auf dem Schlauch?

Liebe Grüße,
mwinter Augenzwinkern

05.12.2011, 23:25

Johnsen

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Du hat vollkommen richtig gerechnet und die beiden Nullzeilen zeigen dir: Der Eigenraum zum Eigenwert 2 ist also 2-dimensional! Das wiederum heißt, dass es zum Eigenwert 2 zwei verschiedene Eigenvektoren geben muss!

Nebenbei: Jetzt ist algebraische und geometrische Vielfachheit gleich. Was bedeutet das für die Matrix M?

Gruß

Johnsen

05.12.2011, 23:39

mwinter

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Hallo Johnsen,

danke für die schnelle Antwort!

Das es sich um einen 2-dimensionalen Eigenraum handelt klingt logisch. Gibt es auch eine Möglichkeit diese beiden Vektoren auszurechnen? Im Unterricht haben wir bisher lediglich 1-dimensionale Eigenräume berechnet, sprich Fixgeraden. Würde mich trotzdem interessieren!

Zitat:

Original von Johnsen
Nebenbei: Jetzt ist algebraische und geometrische Vielfachheit gleich. Was bedeutet das für die Matrix M?

Um ehrlich zu sein verstehe ich nicht, was damit gemeint ist, dass die algebraische und geometrische Vielfachheit gleich ist. Könntest du mir das näher erläutern?

Lg!

06.12.2011, 08:58

Johnsen

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Hi!

Zitat:

Gibt es auch eine Möglichkeit diese beiden Vektoren auszurechnen?

Klar gibt es die, du bist ja schon auf dem besten Wege dorthin:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt wählst du dir einfach 2 Vektoren, die das erfüllen z.B. (1,-1,0) und (1,0,-1).

Diese beiden Vektoren erfüllen die obige Gleichung!

Da jetzt geometrische und algebraische Vielfachheit übereinstimmen für jeden Eigenwert bzw. Eigenraum ist die Matrix M diagonalisierbar!

Gruß

Johnsen

06.12.2011, 09:31

Airblader

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Eine kleine Anmerkung:

Zitat:

Original von Johnsen
Das wiederum heißt, dass es zum Eigenwert 2 zwei verschiedene Eigenvektoren geben muss!

Johnsen meinte mit "verschieden" natürlich lineare Unabhängigkeit. Auch zu einem Eigenwert gibt es schon unendlich viele Eigenvektoren, nämlich skalare Vielfache. Diese fasst man sprachlich aber oft zu "dem"/"einem" Eigenvektor zusammen.

air

06.12.2011, 09:36

Johnsen

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Danke Airblader! Du hast natürlich recht. Wenn man öfter damit beschäftigt ist, dann geht man davon aus, dass man weiß was mit meiner "Umgangssprache" gemeint ist. Aber ich hätte es hier explizit hinschreiben sollen!

Gruß

Johnsen

06.12.2011, 17:23

mwinter

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Hallo nochmal,

dass es zu jedem Eigenwert unendlich viele Eigenvektoren gibt, habe ich gewusst. Aber danke Airblader, dass du das mit der linearen Unabhängigkeit erwähnt hast. Das war mir in diesem Zusammenhang nicht bewusst.

Zitat:

Original von Johnsen
Da jetzt geometrische und algebraische Vielfachheit übereinstimmen für jeden Eigenwert bzw. Eigenraum ist die Matrix M diagonalisierbar!

Ist mit geometrischer Vielfachheit das Vorhandensein von drei Eigenvektoren gemeint und mit algebraischer Vielfachheit meine 3x3 Matrix?

Dann hätte ich die Aussage verstanden..

Liebe Grüße!

06.12.2011, 17:37

Johnsen

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Die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist die Dimension des Eigenraums $\begin{eqnarray*} Eig(\lambda) \end{eqnarray*}$

Und die algebraische Vielfachheit ist einfach die Ordnung der Nullstelle des charakt. Polynoms. Also 2 hat ja hier doppelte Nulllstelle des charakt. Polynoms und auch der Eigenraum zum Eigenwert 2 ist 2-dimensional. Also stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit überein (2=2)

Gruß

Johnsen

06.12.2011, 17:58

mwinter

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Das leuchtet mir ein. Großes Dankeschön, Johnsen! smile

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