Stetige Surjektive Abbildung

05.12.2011, 23:28	Topologie	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Surjektive Abbildung Hi, ich will zeigen, dass es keine stetige , surjektive Abbildung der Kreislinie auf die Gerade gibt. Also es ex. kein $\begin{eqnarray} f : S^1 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig , surj. Ich weiß nicht recht, wie ich das machen soll. Vielleicht mit einem indirekten Beweis? Angenommen, f surj und stetig , dann ex. zu jedem $\begin{eqnarray} y \in \mathbb R \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x \in S^1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ . Ich vermute ich muss irgendwie was mit der Definition zu Stetigkeit zeigen, die lautet: Zu jeder Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ex. eine Umgebung $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ sodass für alle Elemente aus $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(V) \subset U \end{eqnarray}$ . Hat jemand einen Tipp?
06.12.2011, 16:45	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze Kompaktheit. Genauer stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt. qed. schwächere Formulierungen aus Ana 2 könnten sein, jede stetige reelwertige Funktion auf einem kompakten metrischen Raum nimmt Minimum und Maximum an. Usw. Ansonsten betrachte $\begin{eqnarray} S^1 \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ und benutze Bolzano-Weierstrass mit einem Wiederspruchsbeweis. Wichtig ist vll nur das passende Bild im Kopf zu haben was schief gehen kann. mfg

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