diophantische Gleichung keine lösung x,y >= 0

05.12.2011, 23:38

julijuli

diophantische Gleichung keine lösung x,y >= 0

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass die diophantische Gleichung 5x + 7y = 23 keine Lösung besitzt, wenn x,y \geq 0 verlangt wird.

Meine Ideen:
Huhu smile

also ich hab ganz normal die diophantische gleichung gelöst und als ges. lösung das hier rausbekommen:

(x,y)= (69-8m, (-46)+3m)

nur ich weiß nicht, wieso (und OB überhaupt^^) das jetzt zeigt, dass 5x + 7y = 23 keine Lösung besitzt, wenn x,y \geq 0 verlangt wird.

???

viiiiiiiiielen dank!

06.12.2011, 00:58

Dopap

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RE: diophantische Gleichung keine lösung x,y >= 0

Zitat:

Original von julijuli
Meine Frage:
Zeigen Sie, dass die diophantische Gleichung $\begin{eqnarray*} 5x + 7y = 23 \end{eqnarray*}$ keine Lösung besitzt, wenn $\begin{eqnarray*} x,y \geq 0 \end{eqnarray*}$ verlangt wird.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x,y)= (69-8m, -46+3m) \end{eqnarray*}$

vielleicht könntest du uns noch was über "m" erzählen?

06.12.2011, 07:55

René Gruber

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Zitat:

Original von julijuli
(x,y)= (69-8m, (-46)+3m)

Wie kommst du denn auf -8 und 3 als Vorfaktoren vor dem m ??? geschockt

Mit

(x,y)= (69-7m, (-46)+5m)

kommt es eher hin.

P.S.: Eine passende Verallgemeinerung (und auch Erweiterung) der hier zu beweisenden Aussage wäre

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ zwei positive, teilerfremde Zahlen. Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} ab-a-b \end{eqnarray*}$ die größte ganze Zahl ist, die nicht in der Form $\begin{eqnarray*} ax+by \end{eqnarray*}$ mit nichtnegativen ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ darstellbar ist.

06.12.2011, 14:24

greno

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(x,y) =(69+7m,(-46)-5m)

ist meine Lösung.

meine homogene Gleichung lautet:
5x+7y=0

xh = 7m
yh =-5m

aus vorheriger Berechnung: xs = 69, ys = -46

x= xs + xh = 69+7m
y= ys + yh = -46-5m

Mit dem Rest der Aufgabe komme ich jedoch auch nicht weiter..

06.12.2011, 15:37

René Gruber

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Du hast die richtige allgemeine Lösung im Bereich der ganzen Zahlen, jetzt gilt es also nur noch zu begründen, dass es kein $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gibt, für das sowohl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nichtnegativ sind. Wo klemmt's denn da genau? verwirrt

06.12.2011, 16:05

julijuli

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ahja! hab meinen fehler gefunden!

ist es eigentlich egal, ob die gesamte lösung dann

(x,y)= (69-7m, (-46)+5m)

(x,y)= (69+7m, (-46)-5m)

ist?

eigentlich ist es ja egal, welche ich nehme; auf jeden fall gibt es kein m für das sowohl x als auch y nichtnegativ sind.
muss ich dazu noch was schreiben? also das noch i.wie beweisen? oder ist das schon durch die lösung gezeigt?

viiiiiiiiiiielen dank Gott

06.12.2011, 17:03

René Gruber

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Zitat:

Original von julijuli
welche ich nehme; auf jeden fall gibt es kein m für das sowohl x als auch y nichtnegativ sind.
muss ich dazu noch was schreiben? also das noch i.wie beweisen?

Das ist anzuraten. Obwohl ich das bei dir nicht annehmen möchte, verstecken sich Leute gern hinter Aussagen wie "das ist doch klar/offensichtlich/trivial...", wenn sie es nicht beweisen können. Augenzwinkern

06.12.2011, 23:01

julijuli

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aber wie soll ich den beweis anfangen? und worauf will ich hinaus? kann ich das beweisen, indem ich quasi 4 fälle aufschreibe ((+x,-y), (+x,+y), (-x,+y), (-x,-y))?
wahrscheinlich ist das falsch.. aber mir fällt grad nix anderes ein.. unglücklich

bitte kann mir jemand sagen, ob meine idee falsch oder richtig ist?

danke!! Gott

07.12.2011, 11:43

René Gruber

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Wiederholung ... gähn ...

Zitat:

Original von René Gruber
Du hast die richtige allgemeine Lösung im Bereich der ganzen Zahlen, jetzt gilt es also nur noch zu begründen, dass es kein $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gibt, für das sowohl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nichtnegativ sind. Wo klemmt's denn da genau? verwirrt

07.12.2011, 17:12

Rufi87

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Kann mal jemand die ganze Lösung zu dieser blöden Aufgabe posten? Hammer

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