Primfaktorzerlegung 2^(2n) -1

05.12.2011, 23:47

wickie

Auf diesen Beitrag antworten »

Primfaktorzerlegung 2^(2n) -1

Meine Frage:
Die Primfaktorzerlegung der Zahl 2^(2n) -1 (mit n \in \mathbb N) besitzt mindestens n verschiedene Primzahlen.

Meine Ideen:
Muss ich das mit Induktion beweisen? Oder was wie wo fange ich am besten an?

ich wäre sooo dankbar für jede art von hilfe :-*
danke.

06.12.2011, 16:26

wickie

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Primfaktorzerlegung 2^(2n) -1
hab nochmal ein bisschen rumgeknobelt und das sind meine bisherigen überlegungen (was sagt ihr dazu? was ist falsch, was ist richtig? wie muss ich weitermachen?):

also 2^(2n) -1 = 2^2 + 2^n -1 richtig, ne?

der erste teil 2^2 + 2^n wär ja immer eine gerade zahl, doch durch das -1 wird die gesamtzahl ungerade. was ja schonmal zu den eigenschaften der primzahlen (größer als 2) zutrifft!

ich weiß nicht, ob das etwas zur lösung beiträgt?

ansonsten hab ich eine liste aufgestellt:

n=1 -> 2^2 -1= 3 -> mind 1 PZ

n=2 -> 2^4 -1 = 15 -> mind 2 PZ

n=3 -> 2^6 -1 = 63 -> mind 3 PZ

n=4 -> 2^8 -1 = 255 -> mind 4 PZ

....

so ich glaub ich versteh die aufgabe jetzt langsam.. nur wie ich das richtig aufschreibe weiß ich nicht?!

also: der term lautet 2^2n -1
wenn wir das jetzt aufteilen und zunächst einmal nur das ^2n betrachten, fällt auf, dass IMMER eine gerade hochzahl vorliegt (da n mit 2 multipliziert wird)!!
dann folgt: 2^2n ist auch eine gerade zahl! wenn man dann eins abzieht, hat man eine ungerade zahl...

soweit richtig?
und ist das wichtig für die aufgabe? wie kann ich jetzt zeigen, dass das jeweils mind. n PZ enthält?

Bitte um Antwort! und schonmal ein DICKES DANKESCHÖN! Gott

Gott

06.12.2011, 16:52

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Primfaktorzerlegung 2^(2n) -1
hallo wicky,
ich glaube bei dieser aufgabe ist es ein guter tip, so zu zerlegen
2^(2n)-1 =(2^n +1)(2^n-1) und zu überlegen, warum man jetzt mindestens
n primfaktoren vorliegen hat.
gruss ollie3

06.12.2011, 18:29

wickie

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Primfaktorzerlegung 2^(2n) -1
oh okay danke schonmal! Mit Zunge

Mit Zunge

auf diese art der zelegung bin ich noch nicht gekommen..
so direkt weiß ich auch noch nichts damit anzufangen...
vllt mach ich mal ne liste und setz für n ein paar werte ein.. vllt wirds dann klarer..?

danke!

06.12.2011, 18:32

wickie

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Primfaktorzerlegung 2^(2n) -1
noch eine frage:

ist es "2^(n+1)" oder "(2^n) +1"

also: gehört die 1 zum exponenten?

danke! Wink

Wink

06.12.2011, 18:51

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Primfaktorzerlegung 2^(2n) -1
Das ist doch bloß die dritte binomische Formel, die da verwendet wurde.

Anzeige

06.12.2011, 18:52

lala123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Primfaktorzerlegung 2^(2n) -1
Die gehört nicht dazu.

ollie3 hat die 3. binomische Formel zur Zerlegung angewandt. Also

$\begin{eqnarray*} a^2-b^2=(a+b)(a-b) \end{eqnarray*}$

In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} a=2^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$

denn $\begin{eqnarray*} (2^n)^2=2^{2n} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 1^2=1 \end{eqnarray*}$

Also gilt $\begin{eqnarray*} (2^n)^2 -1 = (2^n+1)(2^n-1) \end{eqnarray*}$

06.12.2011, 19:01

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wickie
n=3 -> 2^6 -1 = 63 -> mind 3 PZ

Soso - und welche wären das? Ich sehe da nur zwei verschiedene Primteiler von $\begin{eqnarray*} 63 = 3^2\cdot 7 \end{eqnarray*}$ , nämlich 3 und 7.

Tatsächlich ist es wohl so, dass du dich bei der Behauptung verschrieben hast: Es geht nicht um die Zahl $\begin{eqnarray*} 2^{2n}-1 \end{eqnarray*}$ , sondern vermutlich um $\begin{eqnarray*} 2^{2^n}-1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.12.2011, 19:23

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

bin gerade an gleicher Aufgabe...

$\begin{eqnarray*} 2^{2^{n+1}}=2^{2n+2}=2^{2^n}+2^2=(2^{2^n}-1)+3 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (2^{2^n}-1) \end{eqnarray*}$ wissen wir ja bereits, dass dies in der Primfaktorzerlegung n verschiedene Primzahlen hat... aber woher wissen wir, dass die 3 nicht dazu gehört?

06.12.2011, 19:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dreikommadrei
$\begin{eqnarray*} 2^{2^{n+1}}=2^{2n+2}=2^{2^n}+2^2=(2^{2^n}-1)+3 \end{eqnarray*}$

Jedes der drei Gleichheitszeichen ist falsch. Vielleicht denkst du nochmal in Ruhe drüber nach. unglücklich

unglücklich

06.12.2011, 22:17

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh....
da hab ich wirklich einiges durcheinander gebracht.
also

$\begin{eqnarray*} 2^{(2^{n+1})}=2^{(2^n)}*(2^{(2^n)}-1)+(2^{(2^n)}-1)=(2^{(2^n)}-1) (1+2^{(2^n)}) \end{eqnarray*}$

nach vorraussetzung existieren alpha und p ns mit

$\begin{eqnarray*} (2^{(2^n)}-1)=p_1^{\alpha_1}*p_2^{\alpha_2}*...*p_n^{\alpha_n} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} p_1^{\alpha_1}*p_2^{\alpha_2}*...*p_n^{\alpha_n}*(1+2^{(2^n)})=p_1^{\alpha_1}*p_2^{\alpha_2}*...*p_n^{\alpha_n}+2^{(2^n)}(p_1^{\alpha_1}*p_2^{\alpha_2}*...*p_n^{\alpha_n}) \end{eqnarray*}$

aber so richig weiß ich noch nicht weiter

06.12.2011, 22:54

wickie

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaalso: hier nochmal meine genaue aufgabenstellung! Gott

Gott

Die Primfaktorzerlegung der Zahl 2^{(2n)} -1 (mit n \in \mathbb N) besitzt mindestens n versch Primzahlen.

verwirrt

verwirrt

war das nun bis jetzt richtig? bzw was davon war denn bis etzt richtig?^^

DANKE smile

smile

07.12.2011, 07:38

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo leute,
also dreikommadrei ist schon auf einem guten weg, aber man kann die sache auch einfacher haben. Man kann nämlich 2^(2^(n+1))-1 nach der 3.binomischen
formel direkt zerlegen und kommt dann auf einen term, wo man die induktions
vorrausetzung gut anwenden kann, und schon ist die sache gegessen.
gruss ollie3

07.12.2011, 07:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wickie
Aaaalso: hier nochmal meine genaue aufgabenstellung! Gott

Gott

Die Primfaktorzerlegung der Zahl 2^{(2n)} -1 (mit n \in \mathbb N) besitzt mindestens n versch Primzahlen.

Reife Leistung, du denkst ja wirklich prima mit:

Da habe ich oben deutlich am Beispiel $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ gezeigt, dass das mit dem Exponenten $\begin{eqnarray*} (2n) \end{eqnarray*}$ nicht stimmen kann, und jetzt kommst du wieder mit diesen ollen Kamellen. unglücklich

unglücklich

07.12.2011, 16:47

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dreikommadrei

$\begin{eqnarray*} (2^{(2^n)}-1) (1+2^{(2^n)}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2^{(2^n)}-1) (1+2^{(2^n)})=(2^{(2^n)}-1) (2^{(2^n)}+1)=(2^{(2^n)})^2-1^2=(p_1^{\alpha_1}*....*p_n^{\alpha_n})^2-1=p_1^{2\alpha_1}*....*p_n^{2\alpha_n}-1 \end{eqnarray*}$

ich versteh nicht, wie mich das weiter bringt bzw steh einfach total auf dem schlauch

07.12.2011, 16:51

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Zahlen

$\begin{eqnarray*} 2^{2^n}-1 \end{eqnarray*}$ (d.h. der "vorherige" Wert aus der Induktionsvoraussetzung)

und

$\begin{eqnarray*} 2^{2^n}+1 = \left( 2^{2^n}-1 \right)+2 \end{eqnarray*}$ (d.h. der neu hinzugekommene Faktor)

sind teilerfremd (Begründung?). Was bedeutet das im besonderen für die Primteiler beider Faktoren?

07.12.2011, 17:17

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber
Die beiden Zahlen

$\begin{eqnarray*} 2^{2^n}-1 \end{eqnarray*}$ (d.h. der "vorherige" Wert aus der Induktionsvoraussetzung)

und

$\begin{eqnarray*} 2^{2^n}+1 = \left( 2^{2^n}-1 \right)+2 \end{eqnarray*}$ (d.h. der neu hinzugekommene Faktor)

sind teilerfremd (Begründung?). Was bedeutet das im besonderen für die Primteiler beider Faktoren?

T(a,b)=T(b,r) wobei r der rest der division a/b ist...

sei b= $\begin{eqnarray*} 2^{2^n}-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a=\left( 2^{2^n}-1 \right)+2 \end{eqnarray*}$
a/b=1 r=2

da T(b,r)=1 (da $\begin{eqnarray*} 2^{2^n}+1 \end{eqnarray*}$ keine gerade Zahl ist)
folgt T(a,b)=1

also sind die beiden Teilerfremd... das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} 2^{2^n}+1 \end{eqnarray*}$ nicht aus den p_n primzahlen besteht.
also die Primteiler von $\begin{eqnarray*} 2^{2^n}+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^{2^n}-1 \end{eqnarray*}$ vollkommen verschieden sind...

aber woher weiß ich nun noch, dass $\begin{eqnarray*} 2^{2^n}+1 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist?

*edit*

OK! ic hab das mindestens in der Aufgabenstellung Überlesen...

07.12.2011, 17:28

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Freude

Freude

Vielen vielen Dank an alle Helfer und Helferinnen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »