quadratsummierbare Folgen

06.12.2011, 01:18	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratsummierbare Folgen Guten Abend, ich sitze gerade an Folgender Aufgabe und stehe absolut auf dem Schlauch und bin für Hilfe wirklich dankbar: $\begin{eqnarray} \ell² \end{eqnarray}$ sei die Menge aller reelen Folgen $\begin{eqnarray} x=(x_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty x²_{n}< \infty \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} <x,y>_{\ell²} := \sum\limits_{n=1}^\infty x_{n}y_{n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x,y \in \ell² \end{eqnarray}$ wohldefiniert ist und dadurch ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \ell² \end{eqnarray}$ definiert wird.
06.12.2011, 01:28	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es gilt $\begin{eqnarray} \|ab\| \leq \frac12\left( a^2+b^2\right) \end{eqnarray}$ Dann noch nachschauen, was ein Skalarprodukt ist, und die Eigenschaften nachweisen.
06.12.2011, 01:38	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich anfangs nicht mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung anfangen? Also: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{n=1}^\infty\|x_{n}y_{n}\|)² \leq (\sum\limits_{n=1}^\infty x_{n}²) \cdot (\sum\limits_{n=1}^\infty y_{n}²) \end{eqnarray}$ und damit zeigen, dass die Reihe konvergent ist?
06.12.2011, 01:43	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wie kannst du denn die Cauchy-S-Ungleichung zur Verfügung haben, wenn du noch nichtmal weisst, dass der linke Ausdruck überhaupt Sinn macht, zumindest ich seh da ein kleines Problem. Kann aber auch sein, dass ich da falsch liege. Mein Hinweis sollte dir helfen, mithilfe eines prominenten Konvergenzkriteriums die absolute Konvergenz zu begründen.
06.12.2011, 01:52	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das heißt, ich habe dann: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \|x_{n}y_{n}\| \leq \frac{1}{2}( \sum\limits_{n=1}^\infty x_{n}² + \sum\limits_{n=1}^\infty y_{n}²) \end{eqnarray}$
06.12.2011, 01:53	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau.
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06.12.2011, 02:00	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Und da $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty x_{n}²<\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty y_{n}²<\infty \end{eqnarray}$ gilt, ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}(\sum\limits_{n=1}^\infty x_{n}² + \sum\limits_{n=1}^\infty y_{n}²) \end{eqnarray}$ konvergent und somit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \|x_{n}y_{n}\| \end{eqnarray}$ absolut konvergent (Majorantenkriterium)?
06.12.2011, 02:03	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
bzw. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \|x_{n}y_{n}\| \end{eqnarray}$ konvergent und damit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty x_{n}y_{n} \end{eqnarray}$ absolut konvergent?
06.12.2011, 02:21	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
reicht das um zu zeigen, dass die Reihe wohldefiniert ist?

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