Abschätzung Norm Matrixexponentialfunktion

06.12.2011, 11:52

crosell

Abschätzung Norm Matrixexponentialfunktion

Meine Frage:
Hi Leute,

Habe hier einen Sachverhalt zu beweisen, der im Zshg. mit dynamischen Systemen und Stabilität hyperbolischer Gleichgewichtspunkte steht. Es geht um folgendes:
Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine quadratische Matrix mit Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda_i(A),\,(i=1,...,l) \end{eqnarray*}$ . Gilt $\begin{eqnarray*} Re\lambda_i(A)<0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \lambda^{*}<0 \end{eqnarray*}$ , so dass für jedes $\begin{eqnarray*} T>0 \end{eqnarray*}$ eine Norm $\begin{eqnarray*} ||\cdot|| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||exp(At)||<exp(\lambda^{*}\cdot t),\,(t\in[0,T]) \end{eqnarray*}$ .
a) Beweis der Aussage, dass A symmetrisch ist.
b) Beweis ohne die zusätzliche Forderung aus a).

Meine Ideen:
Ich hab erstmal nur mit a) angefangen. Da A symmetrisch ist, gibt es $\begin{eqnarray*} B\in GL_l(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} A=BAB^-1 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} D:=diag(\lambda_1,...,\lambda_l) \end{eqnarray*}$ . Damit bekomme ich erstmal $\begin{eqnarray*} ||exp(At)||=||exp(BAB^{-1})||=||B||exp(Dt)||||B^{-1}||=||exp(Dt)|| \end{eqnarray*}$ .

Im vorletzten Schritt dachte ich, dass man die invertierbaren Matrizen zur Einheitsmatrix zusammenfassen kann und diese immer Norm 1 hat (für jede Norm, aber das ist eher intuitiv). Jetzt könnte ich vielleicht noch die Diagonalmatrix in Real- und Imaginärteil aufspalten, aber so richtig sehe ich nich wohin, dass führen soll. Irgendwo denke ich, muss man je nach Norm einen maximalen Eigenwert aus D auswählen, um die geforderte Abschätzung zu zeigen. Irgendwie häng ich an der Stelle jedoch fest. Wenn man bei b) auch noch die Symmetrie aufgeben soll, tja dann kann ich mir nur vorstellen, dass man dann vielleicht über eine andere Normalform von A gehen muss, die nicht Diagonalgestalt hat und dennoch zum Ziel kommt. Stehe irgendwie auf dem Schlauch.

08.12.2011, 02:47

gonnabphd

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Ich glaube du hast Satzteile vergessen. verwirrt

Zitat:

... so dass für jedes $\begin{eqnarray*} T>0 \end{eqnarray*}$ eine Norm $\begin{eqnarray*} ||\cdot|| \end{eqnarray*}$ existiert (??) mit $\begin{eqnarray*} ||exp(At)||<exp(\lambda^{*}\cdot t),\,(t\in[0,T]) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

a) Beweis der Aussage, unter der Annahme (??) dass A symmetrisch ist.

Dann hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ||exp(At)||=||exp(BAB^{-1})||=||B||exp(Dt)||||B^{-1}||=||exp(Dt)|| \end{eqnarray*}$

Ich wäre eher für ein kleiner gleich (man kann i.A. auch nichts besseres erwarten)

$\begin{eqnarray*} ||exp(At)||=||exp(BDB^{-1})||\le ||B||exp(Dt)||||B^{-1}|| \end{eqnarray*}$

Beachte, dass man sogar $\begin{eqnarray*} B\in O(n) \end{eqnarray*}$ wählen kann (die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind ja orthogonal). Damit wäre dann bzgl der 2-Norm z.B.

$\begin{eqnarray*} \|\exp(At)\|_2 \le \|B\|_2\|\exp(Dt)\|_2\|B^T\|_2 = \|\exp(Dt)\|_2 \end{eqnarray*}$

Da orthogonale Matrizen eine 2-Norm =1 haben (ggf. beweisen). Eigentlich steht damit dann auch schon alles da, wenn du die 2-Norm von $\begin{eqnarray*} \exp(Dt) \end{eqnarray*}$ ausrechnest.

Zu b): Die JNF scheint sehr natürlich für eine Verwendung im Zusammenhang mit der Exponentialabbildung. Allerdings weiss ich nicht, wie und ob man bei deiner Abschätzung die Faktoren, welche durch den Schritt $\begin{eqnarray*} \|\exp(At)\|\le \|B\|\|\exp(Dt)\|\|B^{-1}\| \end{eqnarray*}$ hinzukommen irgendwie unterdrücken kann (indem man diesen Schritt geschickt umgeht oder indem man die Norm clever wählt evtl?).

Eine andere Idee wäre, auszunutzen, dass man $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ durch diagonalisierbare Matrizen beliebig gut annähern kann:

Sei $\begin{eqnarray*} PAP^{-1} = D + N \end{eqnarray*}$ mit nilpotenter Matrix N und Diagonalmatrix D die Jordannormalenform von A. Und $\begin{eqnarray*} D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_l) \end{eqnarray*}$ . Dann kann man kleine Zahlen $\begin{eqnarray*} \delta_1, \ldots, \delta_l \end{eqnarray*}$ wählen, s.d.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \delta_1, \ldots, \lambda_l + \delta_l \end{eqnarray*}$

alle paarweise verschieden sind. Sei $\begin{eqnarray*} \delta = (\delta_1, \ldots, \delta_l) \end{eqnarray*}$

Die Matrix $\begin{eqnarray*} A_\delta = P^{-1}(\mathrm{diag}(\lambda_1 + \delta_1, \ldots, \lambda_l + \delta_l)+ N)P \end{eqnarray*}$ ist deshalb diagonalisierbar und es ist

$\begin{eqnarray*} \|A - A_\delta\|_2 \le \|P\|_2 \| P^{-1}\|_2 \|\delta\|_2 \end{eqnarray*}$

beliebig klein.

Mit dieser Idee kann man eine Folge diagonalisierbarer Matrizen $\begin{eqnarray*} A_{\delta_n} \end{eqnarray*}$ konstruieren, deren Eigenwerte gegen die Eigenwert von A konvergieren und welche selbst gegen A konvergieren Damit wäre dann für fixes t>0 und für alle n

$\begin{eqnarray*} \|\exp(A_{\delta_n}t)\|_2 \le \exp(\lambda^\ast t) \end{eqnarray*}$

und geeignetes $\begin{eqnarray*} \lambda^\ast \end{eqnarray*}$ richtig - dieses lambda* musst du geeignet bestimmen, dein Beweis zu a) sollte dir zeigen wie. Daraus lässt sich die Ungleichung für A folgern. Ich denke der optimale Wert für $\begin{eqnarray*} \lambda^\ast \end{eqnarray*}$ dürfte der grösste Realteil unter den Eigenwerten von A sein.

Man nutzt also den Fakt aus, dass die diagonalisierbaren Matrizen dicht liegen - was auch in anderen Kontexten viele mühsame Beweise erleichtern kann.

Gruss Wink

09.12.2011, 15:47

crosell

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Hallo gonnabphd,

du hast recht, ich habe die von dir erwähnten Satzteile vergessen und zusätzlich war auch kleiner gleich bei der Abschätzung gefordert, statt echt kleiner.

zu a) Meinen Ansatz mit der Diagonalisierung hast du ja schon bestätigt. Ich wollte bereits intuitiv die 2-Norm nehmen. Nun weiß ich auch warum. In der 2-Norm sind dann zumindest, wie ich das auch wollte die Beträge von Matrixeponentialfunktion der symmetrischen Matrix und der ihrer Diagonalgestallt identisch. Ich wähle also $\begin{eqnarray*} B\in O(\mathbb{R},n) \end{eqnarray*}$ und wende die 2-Norm an. Dann folgt:
$\begin{eqnarray*} ||exp(At)||_2=||exp(B^TABt)||_2=||B^Texp(Dt)B||_2=||exp(Dt)||_2 \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} D:=diag(\lambda_1,...,\lambda_n) \end{eqnarray*}$ ist. Matrixexponentialfunktion angewandt auf eine Diagonalmatrix liefert:
$\begin{eqnarray*} ||exp(Dt)||_2=(\varrho(exp(Dt)^Texp(Dt))^{1/2}=\varrho(exp(2Dt))^{1/2}=\varrho(diag(exp(2\lambda_1 t),...,exp(2\lambda_n t)))^{1/2} \end{eqnarray*}$ .
Dabei bezeichnet $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ den Spektralradius der Matrix. Da meine Matrix A reel und symmetrisch ist, sind alle Eigenwerte reell. Daher wähle ich mir den größten Eigenwert von A und bekomme nach dem letzten Gleichheitszeichen den Spektralradius:
$\begin{eqnarray*} \varrho(diag(exp(2\lambda_1 t),...,exp(2\lambda_n t)))^{1/2}\leq \exp(2\lambda^* t)^{1/2}=exp(\lambda^* t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in [0,T] \end{eqnarray*}$ .
zu b)
Zur Umgehung der Faktoren habe ich nun folgendes gesehen.
A lässt sich wie du schon geschrieben hast auf JNF-Form bringe:
$\begin{eqnarray*} PAP^{-1}=J=D+N \end{eqnarray*}$ . Definiere nun eine Vektornorm: $\begin{eqnarray*} ||v||_P=||Pv||_2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist die dazu verträgliche Matrixnorm gleich:
$\begin{eqnarray*} ||B||_P=sup_{||Pv||_2=1}||PBv||_2=sup_{||v||_2=1}||PBP^{-1}v||_2=||PBP^{-1}||_2 \end{eqnarray*}$
Damit können wir wieder die 2-Norm benutzen.
Danach kommt dein zweiter Gedanke mit der beliebigen Annäherung an die Diagonalgestalt von A. Wähle eine Matrix $\begin{eqnarray*} S:=diag(1,\varepsilon,...,\varepsilon^{n-1}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Schauen wir uns jetzt die Norm an:
$\begin{eqnarray*} ||exp(At)||_{S^{-1}P}=||S^{-1}Pexp(At)P^{-1}S||_2=||S^{-1}exp(Jt)S||_2=||exp(S^{-1}JSt)||_2=||exp((D+\varepsilon N)t)||_2\leq ||exp(Dt)||_2+\delta(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ . Es gibt zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein solchen $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , da wir uns auf einem beschränkten Intervall $\begin{eqnarray*} [0,T] \end{eqnarray*}$ bewegen. Der Rest ist ganz analog zu a) d.h. wir untersuchen den Spektralradius der Matrixexponentialfunktion mit der Diagonalmatrix D und da wir dafür die Matrix mit ihrer Adjungierten multiplizieren interessieren uns auch wieder nur die Realteile in der Abschätzung. Sei also jetzt o.B.d.A $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ der Eigenwert mit größtem Realteil, dann folgt: $\begin{eqnarray*} ||exp(Dt)||_2+\delta(\varepsilon)\leq exp(Re[\lambda_1]\cdot t)+\delta\leq exp(Re[\lambda_1]\cdot t) \end{eqnarray*}$ .
Man kann im letzten Schritt $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ immer hinreichend klein wählen, so dass die Abschätzungen auf $\begin{eqnarray*} [0,T] \end{eqnarray*}$ stimmt.

So ich denke das wärs dafür. Danke für die Hilfe Wink

10.12.2011, 01:27

gonnabphd

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Mhh, ich glaube, das geht so noch nicht wirklich. Das Problem bei deinem Ansatz (anfänglich hatte ich übrigens die gleiche Idee und musste sie dann modifizieren - deshalb meine drölf edits) ist, dass du - um das $\begin{eqnarray*} \delta(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ klein zu machen - deine Matrix $\begin{eqnarray*} S = S(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ verändern musst. Aber damit ändert dann auch die Norm $\begin{eqnarray*} \| \cdot\| \end{eqnarray*}$ !

Deshalb wäre es wohl besser, alles in der 2-Norm zu machen (beachte, dass die diagonalisieraren Matrizen $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ , mit welchen wir A approximieren, nicht unbedingt in Diagonalform sein müssen um a) anwenden zu können). D.h. es reicht aus, Matrizen $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ zu finden, welche

diagonalisierbar sind.
gegen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ konvergieren (bzgl. einer beliebigen Norm wegen der Normäquivalenz).
alle (uniform) einer Abschätzung $\begin{eqnarray*} \|\exp(tA_n)\| \le \exp(\lambda^\ast t) \end{eqnarray*}$ mit (festem) $\begin{eqnarray*} \lambda^\ast<0 \end{eqnarray*}$ genügen.

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